§ 3
EXERCICES
TS I.169
et une seule qui est holomorphe dans U et coïncide avec f sur Ω. Montrer que
l’injection canonique de A dans C (Ω) est un morphisme isométrique h dont
l’image est une sous-algèbre pleine de C (Ω), mais X(h) n’est pas surjectif.
15) Soient A et B des algèbres de Banach commutatives unifères, ϕ un
morphisme unifère de A dans B et (x λ ) λ∈Λ une famille d’éléments de A telle
que la sous-algèbre pleine fermée de A engendrée par les x λ est égale à A.
Pour que X(ϕ) soit surjectif, il faut et il suffit que Sp
Λ
A ((x λ )) = Sp
Λ
B ((ϕ(x λ ))).
(Utiliser le diagramme (1) du n
o 6 de I, p. 41, où la flèche de droite est bijective
d’après la prop. 12 de I, p. 43.)
16) Soit A une algèbre de Banach commutative. Les conditions suivantes
sont équivalentes :
(i) A est sans radical et G (A) est fermé dans C 0 (X(A)) ;
(ii) G est un homéomorphisme de A sur G (A) ;
(iii) il existe une constante c > 0 telle que x
2 cx
2 pour tout
x ∈ A.
17) Soient A une algèbre de Banach commutative et I un idéal fermé de
A. Notons h l’injection canonique de I dans A. L’espace X
(I) s’identifie à
l’espace quotient de X
(A) par la relation d’équivalence que définit X
(h).
(Utiliser la partie a) de l’exercice 4 de I, p. 153).
18) Soient A une algèbre de Banach commutative unifère et x un élément
de A. On suppose que la sous-algèbre fermée pleine de A engendrée par x est
égale à A, de sorte que l’application χ → χ(x) permet d’identifier X(A) et
Sp A (x). Soit H l’ensemble des fonctions G y sur Sp A (x), pour y parcourant A.
Alors q
S H (Sp A (x)) (INT, IV, §7, n
o 4) est la frontière de Sp A (x) relativement
à C. (Pour montrer que q S H (Sp A (x)) est contenu dans cette frontière, utiliser
le principe du maximum. Réciproquement, soit z 0 un point de cette frontière ;
pour montrer que z 0 ∈ q S H (Sp A (x)), considérer (x−z 1 )
−1 pour z 1 assez voisin
de z 0 dans C Sp A (x).)
19) Soient A une algèbre de Banach commutative unifère, B une sousalgèbre unifère fermée de A, T l’application χ → χ|B de X(A) dans X(B)
et R la relation d’équivalence dans X(A) définie par T. Alors T définit par
passage au quotient un homéomorphisme de X(A)/R sur T(X(A)), et pour
tout x ∈ B, la fonction f = G B (x) est telle que |f | atteint sa borne supérieure
sur T(X(A)).
20) Soient ∆ le disque |z| 1 dans C, A l’ensemble des f ∈ C (∆) qui
sont holomorphes dans l’intérieur de ∆ et A 1 la sous-algèbre de Banach de
C (∆) engendrée par A et par la fonction z → |z|. Montrer que X(A 1 ) est
EXERCICES
TS I.169
et une seule qui est holomorphe dans U et coïncide avec f sur Ω. Montrer que
l’injection canonique de A dans C (Ω) est un morphisme isométrique h dont
l’image est une sous-algèbre pleine de C (Ω), mais X(h) n’est pas surjectif.
15) Soient A et B des algèbres de Banach commutatives unifères, ϕ un
morphisme unifère de A dans B et (x λ ) λ∈Λ une famille d’éléments de A telle
que la sous-algèbre pleine fermée de A engendrée par les x λ est égale à A.
Pour que X(ϕ) soit surjectif, il faut et il suffit que Sp
Λ
A ((x λ )) = Sp
Λ
B ((ϕ(x λ ))).
(Utiliser le diagramme (1) du n
o 6 de I, p. 41, où la flèche de droite est bijective
d’après la prop. 12 de I, p. 43.)
16) Soit A une algèbre de Banach commutative. Les conditions suivantes
sont équivalentes :
(i) A est sans radical et G (A) est fermé dans C 0 (X(A)) ;
(ii) G est un homéomorphisme de A sur G (A) ;
(iii) il existe une constante c > 0 telle que x
2 cx
2 pour tout
x ∈ A.
17) Soient A une algèbre de Banach commutative et I un idéal fermé de
A. Notons h l’injection canonique de I dans A. L’espace X
(I) s’identifie à
l’espace quotient de X
(A) par la relation d’équivalence que définit X
(h).
(Utiliser la partie a) de l’exercice 4 de I, p. 153).
18) Soient A une algèbre de Banach commutative unifère et x un élément
de A. On suppose que la sous-algèbre fermée pleine de A engendrée par x est
égale à A, de sorte que l’application χ → χ(x) permet d’identifier X(A) et
Sp A (x). Soit H l’ensemble des fonctions G y sur Sp A (x), pour y parcourant A.
Alors q
S H (Sp A (x)) (INT, IV, §7, n
o 4) est la frontière de Sp A (x) relativement
à C. (Pour montrer que q S H (Sp A (x)) est contenu dans cette frontière, utiliser
le principe du maximum. Réciproquement, soit z 0 un point de cette frontière ;
pour montrer que z 0 ∈ q S H (Sp A (x)), considérer (x−z 1 )
−1 pour z 1 assez voisin
de z 0 dans C Sp A (x).)
19) Soient A une algèbre de Banach commutative unifère, B une sousalgèbre unifère fermée de A, T l’application χ → χ|B de X(A) dans X(B)
et R la relation d’équivalence dans X(A) définie par T. Alors T définit par
passage au quotient un homéomorphisme de X(A)/R sur T(X(A)), et pour
tout x ∈ B, la fonction f = G B (x) est telle que |f | atteint sa borne supérieure
sur T(X(A)).
20) Soient ∆ le disque |z| 1 dans C, A l’ensemble des f ∈ C (∆) qui
sont holomorphes dans l’intérieur de ∆ et A 1 la sous-algèbre de Banach de
C (∆) engendrée par A et par la fonction z → |z|. Montrer que X(A 1 ) est