TS I.168
EXERCICES
§ 3
11) Soit B l’algèbre sur C des fonctions indéfiniment dérivables de [0, 1]
dans C.
a) Soit A une sous-algèbre de B, munie d’une norme faisant de A une algèbre
de Banach. Montrer qu’il existe une suite (m n ) n0 dans R + telle que, pour
tout x ∈ A, on ait
sup
0t1
|x
(n) (t)| = O(m n ).
(Soit B n l’algèbre de Banach des fonctions n fois continûment dérivables
sur [0, 1]. D’après la prop. 9 de I, p. 40, l’injection canonique A → B n est
continue ; soit M n sa norme ; si x ∈ A, on a sup
0t1
|x
(n) (t)| n!M n x.)
b) Il n’existe sur B aucune norme qui en fasse une algèbre de Banach.
12) Soient A une algèbre de Banach unifère et (x n ) une suite d’éléments
inversibles de A tendant vers un élément x ∈ A. Si la suite ((x
−1
n )) est
bornée, et si x n x = xx n pour tout n, alors x est inversible. (D’après le cor.
de la prop. 8 de I, p. 38, (1 − x
−1
n x) (x
−1
n )(x n − x), donc x
−1
n x est
inversible pour n assez grand.)
¶ 13) Soit A l’algèbre de Banach
2 (N) (exerc. 3). Soit A 0 la sous-algèbre
formée par les suites de support fini. Soit B la somme directe de A 0 et de C,
munie de la multiplication (f, α)(g, β) = (f g, 0) pour f, g ∈ A 0 , α, β ∈ C, et
de la norme
(f, α) = sup
f ,
α −
n
f (n)
.
a) L’algèbre complétée
B est une algèbre de Banach commutative dont le
radical R est C · (0, 1), et
B/R est isométriquement isomorphe à A.
b) Soit π :
B →
B/R le morphisme canonique. Il n’existe aucune sousalgèbre B 1 de
B supplémentaire de R telle que π|B 1 : B 1 →
B/R = A soit
un homéomorphisme. (Soit B 1 une telle sous-algèbre. Soit u n ∈ A tel que
u n (n) = 1, u n (m) = 0 pour m = n. Soit e n ∈ B 1 tel que π(e n ) = u n . Montrer
que e n ∈ A 0 , que
∞
n=1
1
n
u n converge dans A mais que
∞
n=1
1
n
e n ne converge
pas dans
B.)
14) Dans C
2 , soit Ω l’ensemble compact défini par
1
2
|z 1 |
2 + |z 2 |
2 1,
et soit A la sous-algèbre de C (Ω) formée des fonctions qui sont holomorphes
dans ˚ Ω. Soit U l’ensemble ouvert défini par |z 1 |
2 + |z 2 |
2 < 1. En vertu d’un
théorème de Hartogs (cf. J.-P. Demailly, Complex analytic and differential
geometry, Ch. I, th. 3.28) pour toute f ∈ A, il existe une fonction
f ∈ C (U)
EXERCICES
§ 3
11) Soit B l’algèbre sur C des fonctions indéfiniment dérivables de [0, 1]
dans C.
a) Soit A une sous-algèbre de B, munie d’une norme faisant de A une algèbre
de Banach. Montrer qu’il existe une suite (m n ) n0 dans R + telle que, pour
tout x ∈ A, on ait
sup
0t1
|x
(n) (t)| = O(m n ).
(Soit B n l’algèbre de Banach des fonctions n fois continûment dérivables
sur [0, 1]. D’après la prop. 9 de I, p. 40, l’injection canonique A → B n est
continue ; soit M n sa norme ; si x ∈ A, on a sup
0t1
|x
(n) (t)| n!M n x.)
b) Il n’existe sur B aucune norme qui en fasse une algèbre de Banach.
12) Soient A une algèbre de Banach unifère et (x n ) une suite d’éléments
inversibles de A tendant vers un élément x ∈ A. Si la suite ((x
−1
n )) est
bornée, et si x n x = xx n pour tout n, alors x est inversible. (D’après le cor.
de la prop. 8 de I, p. 38, (1 − x
−1
n x) (x
−1
n )(x n − x), donc x
−1
n x est
inversible pour n assez grand.)
¶ 13) Soit A l’algèbre de Banach
2 (N) (exerc. 3). Soit A 0 la sous-algèbre
formée par les suites de support fini. Soit B la somme directe de A 0 et de C,
munie de la multiplication (f, α)(g, β) = (f g, 0) pour f, g ∈ A 0 , α, β ∈ C, et
de la norme
(f, α) = sup
f ,
α −
n
f (n)
.
a) L’algèbre complétée
B est une algèbre de Banach commutative dont le
radical R est C · (0, 1), et
B/R est isométriquement isomorphe à A.
b) Soit π :
B →
B/R le morphisme canonique. Il n’existe aucune sousalgèbre B 1 de
B supplémentaire de R telle que π|B 1 : B 1 →
B/R = A soit
un homéomorphisme. (Soit B 1 une telle sous-algèbre. Soit u n ∈ A tel que
u n (n) = 1, u n (m) = 0 pour m = n. Soit e n ∈ B 1 tel que π(e n ) = u n . Montrer
que e n ∈ A 0 , que
∞
n=1
1
n
u n converge dans A mais que
∞
n=1
1
n
e n ne converge
pas dans
B.)
14) Dans C
2 , soit Ω l’ensemble compact défini par
1
2
|z 1 |
2 + |z 2 |
2 1,
et soit A la sous-algèbre de C (Ω) formée des fonctions qui sont holomorphes
dans ˚ Ω. Soit U l’ensemble ouvert défini par |z 1 |
2 + |z 2 |
2 < 1. En vertu d’un
théorème de Hartogs (cf. J.-P. Demailly, Complex analytic and differential
geometry, Ch. I, th. 3.28) pour toute f ∈ A, il existe une fonction
f ∈ C (U)