§ 3
EXERCICES
TS I.167
6) Soit ∆ le disque unité fermé dans C. Montrer que le groupe des éléments
inversibles dans C (∆) n’est pas dense dans C (∆).
7) Soient A une algèbre de Banach unifère commutative et χ ∈ X(A). Pour
tout x ∈ A, on pose x χ = |χ(x)| + x − χ(x). Montrer que x → →x χ
est une norme, que xy χ x χ y χ , e χ = 1, et que si e = 1, alors
x x χ 3x.
8) Soit A une algèbre de Banach unifère commutative telle que 1 = 1.
Soit N l’ensemble des normes équivalentes à la norme donnée, pour lesquelles
A est encore une algèbre de Banach, et pour lesquelles 1 est de norme 1.
a) Soit x 0 ∈ A tel que (x 0 ) < 1. Pour tout x ∈ A, on pose :
x
= inf
n
a n
pour toutes les représentations de x sous la forme a 0 +a 1 x 0 +· · ·+a n x
n
0 (avec
a 0 , a 1 , . . . , a n ∈ A). Montrer que x → →x
est un élément de N. (Comme
(x 0 ) < 1, il existe k tel que x
n
0 k pour tout n, d’où x kx
.)
b) Montrer que x 0
1.
c) Déduire de a) et b) que, pour tout x ∈ A, on a
(x) = inf
n∈N
n(x).
d) Si le seul élément de N est la norme donnée, on a A = C · 1. (Utiliser c)
et l’exerc. 7.)
9) Soient X un espace localement compact et A l’algèbre de Banach C 0 (X).
Soit I un idéal de A tel que, pour tout x ∈ X, il existe f ∈ I telle que f (x) = 0.
Montrer que I contient l’idéal des fonctions à support compact dans X.
10) Soient A une algèbre de Banach commutative et D une dérivation continue de A dans A, c’est-à dire une application linéaire continue de A dans A
telle que D(ab) = (Da)b + a(Db) pour a, b ∈ A.
a) Pour tout χ ∈ X
(A) et tout λ ∈ C, la série
ϕ λ (a) =
∞
n=0
λ
n
n!
χ(D
n (a))
converge ; λ → ϕ λ (a) est une fonction entière, et a → ϕ λ (a) est un caractère
de A.
b) Le nombre ϕ λ (a) est indépendant de λ. (Observer que |ϕ λ (a)| a
d’après a).) Donc χ(D(a)) = 0.
c) L’image de D est contenue dans le radical de A. En déduire une nouvelle
démonstration de l’assertion f ) de l’exerc. 31 de I, p. 162.