TS I.166
EXERCICES
§ 2
§ 3
Dans les exercices ci-dessous, toutes les algèbres considérées sont sur C,
sauf mention explicite du contraire.
1) Soient A une algèbre de Banach commutative et I un idéal maximal de A.
Montrer qu’il n’y a que deux cas possibles : soit I est le noyau d’un caractère
de A, soit I est un hyperplan contenant A
2 . (Utiliser l’exerc. 6 de I, p. 154).
En particulier, si I est non fermé, I est un hyperplan dense de A contenant A
2 .
(Pour obtenir un exemple de cette dernière situation, considérer l’exerc. 3.)
2) Soit A l’algèbre de Banach des suites x = (x n ) n1 de nombres complexes
tendant vers 0, avec x = sup i |x i |. Soit I l’ensemble des éléments de A de
support fini. Alors I est un idéal dense de A, et n’est contenu dans aucun
idéal maximal. (Observer que A
2 = A, et utiliser l’exerc. 1.)
3) Soient Λ un ensemble, p ∈ [1, +∞[, et A =
p (Λ) l’ensemble des familles
x = (x λ ) λ∈Λ , où x λ ∈ C et
x p =
λ
|x λ |
p
1/p
< +∞.
a) Pour l’addition et la multiplication composante par composante, et la
norme x → →x p , l’espace A est une algèbre de Banach.
b) On a A
2 = A et A
2 est dense dans A.
c) L’espace X(A) des caractères non nuls de A s’identifie naturellement à Λ
muni de la topologie discrète. (Utiliser le fait que le dual de
p (Λ) est
q (Λ), où
q est l’exposant conjugué de p.) La transformation de Gelfand devient alors
l’application identique et son image dans l’espace des fonctions continues
tendant vers 0 à l’infini sur Λ est dense et non fermée.
4) Soit (α n ) n0 une suite dans R
∗
+ telle que α 0 = 1, α m+n α m α n pour
tous entiers m et n, et telle que α
1/n
n
→ 0. Soit A l’ensemble des séries
formelles x =
∞
n=0
x n z
n ∈ C[[z]] telles que
x =
∞
n=0
|x n |α n < +∞.
Montrer que A est une algèbre de Banach commutative unifère engendrée
topologiquement par z, et que l’unique idéal maximal de A est l’ensemble
des x ∈ A sans terme constant. (Observer que z est quasi-nilpotent.)
5) Dans l’algèbre C(X) des fractions rationnelles sur C, l’idéal {0} est maximal, mais n’est pas de codimension 1.
EXERCICES
§ 2
§ 3
Dans les exercices ci-dessous, toutes les algèbres considérées sont sur C,
sauf mention explicite du contraire.
1) Soient A une algèbre de Banach commutative et I un idéal maximal de A.
Montrer qu’il n’y a que deux cas possibles : soit I est le noyau d’un caractère
de A, soit I est un hyperplan contenant A
2 . (Utiliser l’exerc. 6 de I, p. 154).
En particulier, si I est non fermé, I est un hyperplan dense de A contenant A
2 .
(Pour obtenir un exemple de cette dernière situation, considérer l’exerc. 3.)
2) Soit A l’algèbre de Banach des suites x = (x n ) n1 de nombres complexes
tendant vers 0, avec x = sup i |x i |. Soit I l’ensemble des éléments de A de
support fini. Alors I est un idéal dense de A, et n’est contenu dans aucun
idéal maximal. (Observer que A
2 = A, et utiliser l’exerc. 1.)
3) Soient Λ un ensemble, p ∈ [1, +∞[, et A =
p (Λ) l’ensemble des familles
x = (x λ ) λ∈Λ , où x λ ∈ C et
x p =
λ
|x λ |
p
1/p
< +∞.
a) Pour l’addition et la multiplication composante par composante, et la
norme x → →x p , l’espace A est une algèbre de Banach.
b) On a A
2 = A et A
2 est dense dans A.
c) L’espace X(A) des caractères non nuls de A s’identifie naturellement à Λ
muni de la topologie discrète. (Utiliser le fait que le dual de
p (Λ) est
q (Λ), où
q est l’exposant conjugué de p.) La transformation de Gelfand devient alors
l’application identique et son image dans l’espace des fonctions continues
tendant vers 0 à l’infini sur Λ est dense et non fermée.
4) Soit (α n ) n0 une suite dans R
∗
+ telle que α 0 = 1, α m+n α m α n pour
tous entiers m et n, et telle que α
1/n
n
→ 0. Soit A l’ensemble des séries
formelles x =
∞
n=0
x n z
n ∈ C[[z]] telles que
x =
∞
n=0
|x n |α n < +∞.
Montrer que A est une algèbre de Banach commutative unifère engendrée
topologiquement par z, et que l’unique idéal maximal de A est l’ensemble
des x ∈ A sans terme constant. (Observer que z est quasi-nilpotent.)
5) Dans l’algèbre C(X) des fractions rationnelles sur C, l’idéal {0} est maximal, mais n’est pas de codimension 1.