§ 2
EXERCICES
TS I.165
37) a) Soit A une algèbre sur C munie d’une topologie localement convexe.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) il existe un système fondamental (U i ) de voisinages convexes équilibrés de 0 tels que U i U i ⊂ U i pour tout i ;
(ii) A est isomorphe à une sous-algèbre d’un produit d’algèbres normées ;
(iii) la topologie de A peut être définie par une famille de semi-normes p i
vérifiant p i (xy) p i (x)p i (y) quels que soient x, y ∈ A.
Si A vérifie ces conditions, on dit que A est localement m-convexe.
b) Soit A une algèbre localement m-convexe. L’application (x, y) → xy de
A × A dans A est continue. Si A est unifère, et si G désigne l’ensemble
des éléments inversibles de A, alors l’application x → x
−1 de G dans A est
continue.
c) Soit A une algèbre unifère localement m-convexe. Le spectre de tout
élément de A est non vide. Si A est un corps, alors A = C · 1.
d) Soit A une algèbre localement m-convexe complète. Il existe un ensemble
ordonné filtrant croissant I, une famille (A i ) i∈I d’algèbres de Banach, des
morphismes continus π ij : A j → A i pour i j, avec π ij ◦ π jk = π ik , tels
que A soit isomorphe à la sous-algèbre de
i A i formée des (x i ) tels que
π ij (x j ) = x i pour i j.
e) L’algèbre C C (R), munie de la topologie de la convergence compacte,
est localement m-convexe. L’ensemble des éléments inversibles de C C (R) est
dense dans C C (R) ; il n’est pas ouvert.
f ) Soient D une partie ouverte de C et A l’algèbre des fonctions complexes
holomorphes dans D, munie de la topologie de la convergence compacte.
Alors A est localement m-convexe. L’ensemble des éléments inversibles de A
est fermé.
g) L’algèbre des fonctions complexes indéfiniment dérivables sur [0, 1], munie de la topologie de la convergence uniforme de chaque dérivée, est localement m-convexe.
h) Soit A l’algèbre des (classes de) fonctions complexes f sur [0, 1] telles
que f ∈ L
p ([0, 1]) pour tout p > 1. Munie de la topologie définie par la
famille de semi-normes f → →f p (p > 1), A n’est pas localement m-convexe.
L’application (x, y) → xy de A × A dans A est continue.
EXERCICES
TS I.165
37) a) Soit A une algèbre sur C munie d’une topologie localement convexe.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) il existe un système fondamental (U i ) de voisinages convexes équilibrés de 0 tels que U i U i ⊂ U i pour tout i ;
(ii) A est isomorphe à une sous-algèbre d’un produit d’algèbres normées ;
(iii) la topologie de A peut être définie par une famille de semi-normes p i
vérifiant p i (xy) p i (x)p i (y) quels que soient x, y ∈ A.
Si A vérifie ces conditions, on dit que A est localement m-convexe.
b) Soit A une algèbre localement m-convexe. L’application (x, y) → xy de
A × A dans A est continue. Si A est unifère, et si G désigne l’ensemble
des éléments inversibles de A, alors l’application x → x
−1 de G dans A est
continue.
c) Soit A une algèbre unifère localement m-convexe. Le spectre de tout
élément de A est non vide. Si A est un corps, alors A = C · 1.
d) Soit A une algèbre localement m-convexe complète. Il existe un ensemble
ordonné filtrant croissant I, une famille (A i ) i∈I d’algèbres de Banach, des
morphismes continus π ij : A j → A i pour i j, avec π ij ◦ π jk = π ik , tels
que A soit isomorphe à la sous-algèbre de
i A i formée des (x i ) tels que
π ij (x j ) = x i pour i j.
e) L’algèbre C C (R), munie de la topologie de la convergence compacte,
est localement m-convexe. L’ensemble des éléments inversibles de C C (R) est
dense dans C C (R) ; il n’est pas ouvert.
f ) Soient D une partie ouverte de C et A l’algèbre des fonctions complexes
holomorphes dans D, munie de la topologie de la convergence compacte.
Alors A est localement m-convexe. L’ensemble des éléments inversibles de A
est fermé.
g) L’algèbre des fonctions complexes indéfiniment dérivables sur [0, 1], munie de la topologie de la convergence uniforme de chaque dérivée, est localement m-convexe.
h) Soit A l’algèbre des (classes de) fonctions complexes f sur [0, 1] telles
que f ∈ L
p ([0, 1]) pour tout p > 1. Munie de la topologie définie par la
famille de semi-normes f → →f p (p > 1), A n’est pas localement m-convexe.
L’application (x, y) → xy de A × A dans A est continue.