TS I.164
EXERCICES
§ 2
Un élément a ∈ A est dit régulier s’il existe r 0 tel que a − λ soit inversible
pour |λ| r, et tel que l’ensemble des (a − λ)
−1 , pour |λ| r, soit borné.
a) Si a est régulier, λ(a − λ)
−1 reste borné pour |λ| r.
b) Si l’application x → x
−1 est définie dans un voisinage de 1 et continue
au point 1, tout élément de A est régulier.
c) Pour tout a ∈ A, soit U a l’ensemble des λ ∈ C tels que (a−µ)
−1 existe et
soit borné pour tous les µ d’un voisinage de λ. Soit S a = C U a . Alors S a est
fermé ; et, si a est régulier, S a est compact non vide (pourvu que A = {0}).
d) Soit a ∈ A. La fonction λ → (a − λ)
−1 est holomorphe dans U a .
e) Soit a ∈ A. Pour que λ ∈ U a , il faut et il suffit que a − λ possède un
inverse régulier.
f ) Si tout élément de A est régulier, et si A est un corps, on a A = C · 1.
35) Soit A une algèbre sur R qui soit un corps, munie d’une topologie
localement convexe séparée telle que la multiplication dans A soit continue,
et telle que l’application x → x
−1 soit continue en 1. Alors A est R-isomorphe
soit à R, soit à C, soit au corps des quaternions H. (Si A est commutative et
qu’il existe u ∈ A avec u
2 = −1, munir A d’une structure d’algèbre sur C, et
appliquer l’exerc. 34, f ).) Si A est commutative et qu’il n’existe pas d’élément
u ∈ A tel que u
2 = −1, appliquer l’exerc. 34, f ) au corps A ⊗ R C. Si A est
non commutative, raisonner comme dans AC, VI, §6, n
o 4, th. 1, troisième
cas.)
¶ 36) Soit A l’algèbre sur C formée des restrictions à [0, 1] des fonctions
rationnelles en une variable à coefficients complexes. Cette algèbre est un
corps.
a) On munit A de la topologie de la convergence en mesure (INT, IV, §5,
n
o 11). Alors les applications (x, y) → x + y et (x, y) → xy de A × A dans A
sont continues, et l’application x → x
−1 de A
∗ dans A est continue. La
topologie de A n’est pas localement convexe.
b) Pour n ∈ N
∗ , on définit la suite (w r,n ) r∈Z par w r,n = (−r + 1)
n(−r+1)
si r < 0, w 0,n = 1 et w r,n = (r + 1)
−(r+1)/n si r > 0. Si f ∈ A, on pose
p n (f ) =
r w r,n |a r | < +∞, où
a r t
r est le développement de Laurent
de f (t) en 0. Alors les p n sont des semi-normes qui définissent sur A une
topologie localement convexe métrisable. L’application (x, y) → xy de A × A
dans A est continue. L’application x → x
−1 de A
∗ dans A n’est pas continue.
L’algèbre A n’est pas complète pour cette topologie.
EXERCICES
§ 2
Un élément a ∈ A est dit régulier s’il existe r 0 tel que a − λ soit inversible
pour |λ| r, et tel que l’ensemble des (a − λ)
−1 , pour |λ| r, soit borné.
a) Si a est régulier, λ(a − λ)
−1 reste borné pour |λ| r.
b) Si l’application x → x
−1 est définie dans un voisinage de 1 et continue
au point 1, tout élément de A est régulier.
c) Pour tout a ∈ A, soit U a l’ensemble des λ ∈ C tels que (a−µ)
−1 existe et
soit borné pour tous les µ d’un voisinage de λ. Soit S a = C U a . Alors S a est
fermé ; et, si a est régulier, S a est compact non vide (pourvu que A = {0}).
d) Soit a ∈ A. La fonction λ → (a − λ)
−1 est holomorphe dans U a .
e) Soit a ∈ A. Pour que λ ∈ U a , il faut et il suffit que a − λ possède un
inverse régulier.
f ) Si tout élément de A est régulier, et si A est un corps, on a A = C · 1.
35) Soit A une algèbre sur R qui soit un corps, munie d’une topologie
localement convexe séparée telle que la multiplication dans A soit continue,
et telle que l’application x → x
−1 soit continue en 1. Alors A est R-isomorphe
soit à R, soit à C, soit au corps des quaternions H. (Si A est commutative et
qu’il existe u ∈ A avec u
2 = −1, munir A d’une structure d’algèbre sur C, et
appliquer l’exerc. 34, f ).) Si A est commutative et qu’il n’existe pas d’élément
u ∈ A tel que u
2 = −1, appliquer l’exerc. 34, f ) au corps A ⊗ R C. Si A est
non commutative, raisonner comme dans AC, VI, §6, n
o 4, th. 1, troisième
cas.)
¶ 36) Soit A l’algèbre sur C formée des restrictions à [0, 1] des fonctions
rationnelles en une variable à coefficients complexes. Cette algèbre est un
corps.
a) On munit A de la topologie de la convergence en mesure (INT, IV, §5,
n
o 11). Alors les applications (x, y) → x + y et (x, y) → xy de A × A dans A
sont continues, et l’application x → x
−1 de A
∗ dans A est continue. La
topologie de A n’est pas localement convexe.
b) Pour n ∈ N
∗ , on définit la suite (w r,n ) r∈Z par w r,n = (−r + 1)
n(−r+1)
si r < 0, w 0,n = 1 et w r,n = (r + 1)
−(r+1)/n si r > 0. Si f ∈ A, on pose
p n (f ) =
r w r,n |a r | < +∞, où
a r t
r est le développement de Laurent
de f (t) en 0. Alors les p n sont des semi-normes qui définissent sur A une
topologie localement convexe métrisable. L’application (x, y) → xy de A × A
dans A est continue. L’application x → x
−1 de A
∗ dans A n’est pas continue.
L’algèbre A n’est pas complète pour cette topologie.