§ 2
EXERCICES
TS I.163
pour tout u ∈ U, il existe un λ tel que π λ (u) = 0, et π λ (L) est formé pour
tout λ d’endomorphismes nilpotents. En munissant chaque V λ d’une structure hilbertienne fournie par d), on obtient dans l’espace hilbertien V somme
hilbertienne des V λ une représentation π de L par des endomorphismes continus, d’où un morphisme injectif ϕ de U dans L (V). Poser u U = ϕ(u)
pour tout u ∈ U).
f ) Soient A une algèbre normée unifère complexe x et y des éléments de A.
Si A = {0}, on a xy − yx = 1. (Première démonstration : on a Sp
A (xy) =
Sp
A (yx) ; si xy = yx + 1, alors Sp A (xy) se déduit de Sp A (yx) par la translation z → z + 1 ; en déduire que Sp A (xy) est non borné, ce qui est absurde.
Deuxième démonstration : si [x, y] = 1, on a [xy, y] = y, d’où y
n = 0 pour n
assez grand d’après a) ; comme [x, y
p ] = py
p−1 en déduire que y = 0).
32) Soient A une algèbre normée et x ∈ A. On dit que x est topologiquement nilpotent si x
n tend vers 0 quand n tend vers +∞. Montrer que x est
topologiquement nilpotent si, et seulement si, (x) < 1.
33) Soit A une algèbre de Banach unifère commutative sur C. On suppose
que tout idéal fermé I de A est de type fini (c’est-à-dire qu’il existe n ∈ N et
x 1 , . . . , x n ∈ A tels que I = Ax 1 + · · · + Ax n ).
a) Tout idéal I de A est fermé. (Écrivons I = Ax 1 +· · ·+Ax n avec x 1 , . . . , x n
dans A. Soit (x ip ) p1 une suite d’éléments de I tendant vers x i . Pour tout
(y 1 , . . . , y n ) ∈ A
n et tout p 1, on pose
ϕ(y 1 , . . . , y n ) = x 1 y 1 + · · · + x n y n ∈ I
ϕ p (y 1 , . . . , y n ) = x ip y 1 + · · · + x np y n ∈ I.
On a ϕ ∈ L (A
n , I), ϕ p ∈ L (A
n , I), − ϕ p tend vers 0 quand p tend vers
+∞, et ϕ est surjectif. En déduire que ϕ p est surjectif pour p assez grand,
en considérant les transposés de ϕ et ϕ p . Donc I = I.)
b) Si A est intègre, A = C · 1. (Utiliser a) et l’exerc. 15.)
c) Si le seul élément nilpotent de A est 0, il existe un entier n 0 tel que A
soit isomorphe à C
n . (Puisque A est nœthérien, {0} est intersection d’idéaux
premiers p 1 , . . . , p m ; ceux-ci sont fermés d’après a), et les algèbres A/p i sont
isomorphes à C d’après b).)
d) On a dim C A < +∞. (Soit N l’ensemble des éléments nilpotents de A,
qui est un idéal (fermé) de A. Alors dim(A/N) < +∞ d’après c). Comme N
est un idéal de type fini, N
n = 0 pour n assez grand. Enfin, chaque N
i /N
i+1
est un module de type fini sur A/N, donc dim(N
i /N
i+1 ) < +∞.)
34) Soit A une algèbre unifère sur C, munie d’une topologie localement
convexe séparée telle que la multiplication dans A soit séparément continue.
EXERCICES
TS I.163
pour tout u ∈ U, il existe un λ tel que π λ (u) = 0, et π λ (L) est formé pour
tout λ d’endomorphismes nilpotents. En munissant chaque V λ d’une structure hilbertienne fournie par d), on obtient dans l’espace hilbertien V somme
hilbertienne des V λ une représentation π de L par des endomorphismes continus, d’où un morphisme injectif ϕ de U dans L (V). Poser u U = ϕ(u)
pour tout u ∈ U).
f ) Soient A une algèbre normée unifère complexe x et y des éléments de A.
Si A = {0}, on a xy − yx = 1. (Première démonstration : on a Sp
A (xy) =
Sp
A (yx) ; si xy = yx + 1, alors Sp A (xy) se déduit de Sp A (yx) par la translation z → z + 1 ; en déduire que Sp A (xy) est non borné, ce qui est absurde.
Deuxième démonstration : si [x, y] = 1, on a [xy, y] = y, d’où y
n = 0 pour n
assez grand d’après a) ; comme [x, y
p ] = py
p−1 en déduire que y = 0).
32) Soient A une algèbre normée et x ∈ A. On dit que x est topologiquement nilpotent si x
n tend vers 0 quand n tend vers +∞. Montrer que x est
topologiquement nilpotent si, et seulement si, (x) < 1.
33) Soit A une algèbre de Banach unifère commutative sur C. On suppose
que tout idéal fermé I de A est de type fini (c’est-à-dire qu’il existe n ∈ N et
x 1 , . . . , x n ∈ A tels que I = Ax 1 + · · · + Ax n ).
a) Tout idéal I de A est fermé. (Écrivons I = Ax 1 +· · ·+Ax n avec x 1 , . . . , x n
dans A. Soit (x ip ) p1 une suite d’éléments de I tendant vers x i . Pour tout
(y 1 , . . . , y n ) ∈ A
n et tout p 1, on pose
ϕ(y 1 , . . . , y n ) = x 1 y 1 + · · · + x n y n ∈ I
ϕ p (y 1 , . . . , y n ) = x ip y 1 + · · · + x np y n ∈ I.
On a ϕ ∈ L (A
n , I), ϕ p ∈ L (A
n , I), − ϕ p tend vers 0 quand p tend vers
+∞, et ϕ est surjectif. En déduire que ϕ p est surjectif pour p assez grand,
en considérant les transposés de ϕ et ϕ p . Donc I = I.)
b) Si A est intègre, A = C · 1. (Utiliser a) et l’exerc. 15.)
c) Si le seul élément nilpotent de A est 0, il existe un entier n 0 tel que A
soit isomorphe à C
n . (Puisque A est nœthérien, {0} est intersection d’idéaux
premiers p 1 , . . . , p m ; ceux-ci sont fermés d’après a), et les algèbres A/p i sont
isomorphes à C d’après b).)
d) On a dim C A < +∞. (Soit N l’ensemble des éléments nilpotents de A,
qui est un idéal (fermé) de A. Alors dim(A/N) < +∞ d’après c). Comme N
est un idéal de type fini, N
n = 0 pour n assez grand. Enfin, chaque N
i /N
i+1
est un module de type fini sur A/N, donc dim(N
i /N
i+1 ) < +∞.)
34) Soit A une algèbre unifère sur C, munie d’une topologie localement
convexe séparée telle que la multiplication dans A soit séparément continue.