TS I.162
EXERCICES
§ 2
en 1/(ζ − 1) de degré < α + 1. (Soit ε > 0. On a x(ζ) ε(1 − r)
−1−α
pour r ε r = |ζ| < 1, x(ζ) ε(1 − r
−1 )
−1−α pour 1 < r r
ε . Posant
1 − ζ = (ω +
1
2 )
−1 , ω = Re
iθ , montrer que, pour 0 r < 1 et R 1, on a
(1 − r)
−1
9
4
R
cos θ
et que, pour 1 < r et R 1,
(1 − r
−1 )
−1
9
4
R
cos θ
.
Poser y(ω) = x(ζ) et montrer que R
−α−1 |cos θ|
α+1 y(Re
iθ ) tend vers 0
quand R tend vers +∞, uniformément en θ. Appliquer alors l’exerc. 29, b).)
Soient A une algèbre de Banach unifère complexe, q ∈ A un élément quasinilpotent et x = 1 + q.
b) Pour que q
N = 0, il faut et il suffit que x
±n = o(n
N ) quand n tend vers
+∞. (Pour voir que la condition est suffisante, montrer, en appliquant a), que
R(λ, x) est un polynôme en 1/(λ − 1) de degré N. D’autre part, R(λ, x) =
∞
n=0 q
n (λ − 1)
−n−1 .)
c) Soient R le radical de A et G un sous-groupe du groupe des éléments
inversibles de A. Si, pour tout x ∈ G, on a x
n = o(n), x
−n = o(n) pour
n → +∞, alors la restriction à G de l’application canonique A → A/R est
injective.
31) a) Soient A une algèbre normée, et x, y deux éléments de A tels que
xy − yx = y. Démontrer que y
n = 0 pour n > 2x. (Utiliser la formule
xy
n − y
n x = ny
n ).
b) Soit L une algèbre de Lie de dimension finie sur C. Démontrer que, si
L n’est pas nilpotente, elle contient deux éléments x, y non nuls tels que
[x, y] = y. (Utiliser le fait qu’il existe un x ∈ L tel que ad(x) soit non
nilpotent.)
c) Soit L une algèbre de Lie réelle ou complexe de dimension finie telle que
l’algèbre enveloppante de L possède une norme compatible avec sa structure
d’algèbre. Démontrer que L est nilpotente. (Utiliser a) et b).)
d) Soient V un espace vectoriel réel ou complexe de dimension finie, L
une sous-algèbre de Lie de gl(V) formée d’endomorphismes nilpotents, et
x 1 , . . . , x n des éléments de L. Soit α > 0. Démontrer qu’il existe une structure
d’espace hilbertien sur V telle que x i α pour 1 i n.
e) Soient L une algèbre de Lie réelle ou complexe, de dimension finie, nilpotente, et U son algèbre enveloppante. Démontrer qu’il existe sur U une norme
compatible avec sa structure d’algèbre. (En utilisant la méthode de LIE, I, §3,
exerc. 5 et §7, exerc. 3, montrer qu’il existe une famille (π λ ) de représentations
de L dans des espaces V λ de dimension finie, ayant la propriété suivante :
EXERCICES
§ 2
en 1/(ζ − 1) de degré < α + 1. (Soit ε > 0. On a x(ζ) ε(1 − r)
−1−α
pour r ε r = |ζ| < 1, x(ζ) ε(1 − r
−1 )
−1−α pour 1 < r r
ε . Posant
1 − ζ = (ω +
1
2 )
−1 , ω = Re
iθ , montrer que, pour 0 r < 1 et R 1, on a
(1 − r)
−1
9
4
R
cos θ
et que, pour 1 < r et R 1,
(1 − r
−1 )
−1
9
4
R
cos θ
.
Poser y(ω) = x(ζ) et montrer que R
−α−1 |cos θ|
α+1 y(Re
iθ ) tend vers 0
quand R tend vers +∞, uniformément en θ. Appliquer alors l’exerc. 29, b).)
Soient A une algèbre de Banach unifère complexe, q ∈ A un élément quasinilpotent et x = 1 + q.
b) Pour que q
N = 0, il faut et il suffit que x
±n = o(n
N ) quand n tend vers
+∞. (Pour voir que la condition est suffisante, montrer, en appliquant a), que
R(λ, x) est un polynôme en 1/(λ − 1) de degré N. D’autre part, R(λ, x) =
∞
n=0 q
n (λ − 1)
−n−1 .)
c) Soient R le radical de A et G un sous-groupe du groupe des éléments
inversibles de A. Si, pour tout x ∈ G, on a x
n = o(n), x
−n = o(n) pour
n → +∞, alors la restriction à G de l’application canonique A → A/R est
injective.
31) a) Soient A une algèbre normée, et x, y deux éléments de A tels que
xy − yx = y. Démontrer que y
n = 0 pour n > 2x. (Utiliser la formule
xy
n − y
n x = ny
n ).
b) Soit L une algèbre de Lie de dimension finie sur C. Démontrer que, si
L n’est pas nilpotente, elle contient deux éléments x, y non nuls tels que
[x, y] = y. (Utiliser le fait qu’il existe un x ∈ L tel que ad(x) soit non
nilpotent.)
c) Soit L une algèbre de Lie réelle ou complexe de dimension finie telle que
l’algèbre enveloppante de L possède une norme compatible avec sa structure
d’algèbre. Démontrer que L est nilpotente. (Utiliser a) et b).)
d) Soient V un espace vectoriel réel ou complexe de dimension finie, L
une sous-algèbre de Lie de gl(V) formée d’endomorphismes nilpotents, et
x 1 , . . . , x n des éléments de L. Soit α > 0. Démontrer qu’il existe une structure
d’espace hilbertien sur V telle que x i α pour 1 i n.
e) Soient L une algèbre de Lie réelle ou complexe, de dimension finie, nilpotente, et U son algèbre enveloppante. Démontrer qu’il existe sur U une norme
compatible avec sa structure d’algèbre. (En utilisant la méthode de LIE, I, §3,
exerc. 5 et §7, exerc. 3, montrer qu’il existe une famille (π λ ) de représentations
de L dans des espaces V λ de dimension finie, ayant la propriété suivante :