§ 2
EXERCICES
TS I.161
a) Soit λ 0 ∈ ∆. Pour tout λ ∈ ∆ tel que |λ − λ 0 | · ·R(λ) < 1, on a :
R(λ) =
∞
n=0
(λ 0 − λ)
n R(λ 0 )
n+1 .
b) Pour tout λ ∈ ∆ et tout entier n 0, on a
∂
n
∂λ n R(λ) = (−1)
n n!R(λ)
n+1 .
c) Si R est holomorphe à l’infini, alors il existe z, j, x ∈ A tels que z
2 = 0,
j
2 = j, zj = jz = 0, x ∈ jAj, et R(λ) = z + jR(λ, x) pour |λ| assez grand.
(Écrire R(λ) =
∞
n=0 c n λ
−n pour |λ| > λ 0 , et exprimer que R satisfait à (5).
On peut poser c 0 = z, c 1 = j, c 2 = x.)
d) Pour qu’il existe a ∈ A tel que R est la restriction à ∆ de la résolvante
λ → R(a, λ) de a, il faut et il suffit qu’il existe λ 0 ∈ ∆ tel que R(λ 0 ) soit
inversible.
e) Pour tout x ∈ A, la fonction λ →
∞
n=0 (λ 0 − λ)
n x
n+1 satisfait à (5)
pour |λ − λ 0 | · ·x < 1.
29) a) Soient E un espace de Banach complexe, f : C → E une fonction
entière et θ → P(θ) =
m
µ=k c µ e
µiθ un polynôme trigonométrique (c k = 0).
On suppose que |P(θ)| · ·f (re
iθ ) Mr
α pour r r 0 (M, r 0 , α étant des
constantes 0). Alors f est un polynôme de degré α. (Soient f (ζ) =
∞
ν=0 a ν ζ
ν , et
J(r, p) = r
−p
2π
0
P(θ)f (re
iθ )e
−(k+p)iθ dθ.
Calculer la limite de J(r, p) quand r → +∞ de deux manières différentes
pour p > α.)
b) Avec les notations de a), si α est entier et si, pour tout θ ∈ R, on a
lim
r→+∞
r
−α |P(θ)| |f (re
iθ ) = 0,
alors f est un polynôme de degré < α.
c) Soient A une algèbre de Banach unifère complexe et x un élément quasinilpotent de A. On suppose que, pour un certain entier n > 0, et pour tout
θ ∈ R, on a
lim
r→+∞
r
−n | cos
n θ| · ·(1 − re
iθ x)
−1 = 0.
Alors x
n = 0. (Utiliser b).)
¶ 30) a) Soient E un espace de Banach complexe et x : C {1} → E une fonction entière de 1/(ζ −1). On note x(ζ) =
∞
n=0 a n ζ
n , x(ζ) =
∞
n=0 b n ζ
−n les
développements de x pour |ζ| < 1, |ζ| > 1 respectivement. On suppose qu’il
existe α > 0 tel que a n = o(n
α ), b n = o(n
α ). Alors x(ζ) est un polynôme
EXERCICES
TS I.161
a) Soit λ 0 ∈ ∆. Pour tout λ ∈ ∆ tel que |λ − λ 0 | · ·R(λ) < 1, on a :
R(λ) =
∞
n=0
(λ 0 − λ)
n R(λ 0 )
n+1 .
b) Pour tout λ ∈ ∆ et tout entier n 0, on a
∂
n
∂λ n R(λ) = (−1)
n n!R(λ)
n+1 .
c) Si R est holomorphe à l’infini, alors il existe z, j, x ∈ A tels que z
2 = 0,
j
2 = j, zj = jz = 0, x ∈ jAj, et R(λ) = z + jR(λ, x) pour |λ| assez grand.
(Écrire R(λ) =
∞
n=0 c n λ
−n pour |λ| > λ 0 , et exprimer que R satisfait à (5).
On peut poser c 0 = z, c 1 = j, c 2 = x.)
d) Pour qu’il existe a ∈ A tel que R est la restriction à ∆ de la résolvante
λ → R(a, λ) de a, il faut et il suffit qu’il existe λ 0 ∈ ∆ tel que R(λ 0 ) soit
inversible.
e) Pour tout x ∈ A, la fonction λ →
∞
n=0 (λ 0 − λ)
n x
n+1 satisfait à (5)
pour |λ − λ 0 | · ·x < 1.
29) a) Soient E un espace de Banach complexe, f : C → E une fonction
entière et θ → P(θ) =
m
µ=k c µ e
µiθ un polynôme trigonométrique (c k = 0).
On suppose que |P(θ)| · ·f (re
iθ ) Mr
α pour r r 0 (M, r 0 , α étant des
constantes 0). Alors f est un polynôme de degré α. (Soient f (ζ) =
∞
ν=0 a ν ζ
ν , et
J(r, p) = r
−p
2π
0
P(θ)f (re
iθ )e
−(k+p)iθ dθ.
Calculer la limite de J(r, p) quand r → +∞ de deux manières différentes
pour p > α.)
b) Avec les notations de a), si α est entier et si, pour tout θ ∈ R, on a
lim
r→+∞
r
−α |P(θ)| |f (re
iθ ) = 0,
alors f est un polynôme de degré < α.
c) Soient A une algèbre de Banach unifère complexe et x un élément quasinilpotent de A. On suppose que, pour un certain entier n > 0, et pour tout
θ ∈ R, on a
lim
r→+∞
r
−n | cos
n θ| · ·(1 − re
iθ x)
−1 = 0.
Alors x
n = 0. (Utiliser b).)
¶ 30) a) Soient E un espace de Banach complexe et x : C {1} → E une fonction entière de 1/(ζ −1). On note x(ζ) =
∞
n=0 a n ζ
n , x(ζ) =
∞
n=0 b n ζ
−n les
développements de x pour |ζ| < 1, |ζ| > 1 respectivement. On suppose qu’il
existe α > 0 tel que a n = o(n
α ), b n = o(n
α ). Alors x(ζ) est un polynôme