TS I.160
EXERCICES
§ 2
que A admet un élément unité. Si x ∈ R et a ∈ A, on a Sp A (ax) = {0}, donc
1 − ax est inversible ; donc x ∈ R.)
24) Soient A une algèbre de Banach complexe, B une algèbre complexe sans
radical et ϕ un morphisme de A sur B. Le noyau de ϕ est fermé.
25) Soient A une algèbre de Banach complexe et π une représentation irréductible non nulle de A dans un espace vectoriel complexe X. Soit ξ 0 un
élément non nul de X.
a) L’annulateur I de ξ 0 est un idéal à gauche maximal régulier de A ; il est
fermé.
b) L’application x → xξ 0 définit par passage au quotient un isomorphisme ϕ
du A-module A/I sur le A-module X.
c) Si on transporte par ϕ la norme de l’espace de Banach A/I, alors X
devient un espace de Banach, et π(x)x pour tout x ∈ A.
d) Si A est primitive (c’est-dire que {0} est un idéal primitif, cf. définition I,
p. 11, cf. aussi A, VIII, p. 433, exerc. 6), alors A = {0} ou C · 1 suivant que
A possède ou non un élément unité. (Utiliser ce qui précède et le cor. 4 de I,
p. 26).
¶ 26) Soient A une algèbre de Banach et R son radical.
a) Démontrer que, si r ∈ R, la série
−
1
2
∞
k=1
1/2
k
(−4r)
k
converge vers un élément x ∈ R tel que x
2 − x + r = 0.
b) Soit u un élément de A dont la classe dans A/R est idempotente. Il existe
un idempotent de A congru à u modulo R. (On peut supposer que A admet
un élément unité. Soient q = u − u
2 ∈ R et x ∈ R une solution, construite à
l’aide de a), de x
2 − x − q(1 − 4q)
−1 = 0. Alors u − (2u − 1)x répond à la
question.)
27) Soient A une algèbre de Banach unifère complexe, x ∈ A et ζ un point
frontière de Sp A (x). La résolvante de x ne peut se prolonger en une fonction
continue en ζ.
28) Soient A une algèbre de Banach unifère complexe, ∆ une partie ouverte
de C et λ → R(λ) une application de ∆ dans A telle que
(5)
R(λ) − R(µ) = −(λ − µ)R(λ)R(µ)
quels que soient λ, µ ∈ ∆.