§ 2
EXERCICES
TS I.159
18) Soit A une algèbre de Banach unifère. L’ensemble des x qui ne sont ni
inversibles, ni diviseurs de zéro topologiques, est ouvert dans A.
19) Soient X un espace de Banach complexe et x ∈ A = L (X).
a) Si x n’est pas inversible, alors x est diviseur de zéro topologique à gauche
ou à droite. (Envisager successivement les cas suivants :
1
◦ ) x est non injectif ;
2
◦ ) x(X) = X ;
3
◦ ) x est injectif, x(X) est dense dans X et distinct de X.)
b) Si x applique bicontinûment X sur un sous-espace vectoriel fermé de X
distinct de X, ou si x est non injectif et d’image X, alors x est intérieur à
l’ensemble des éléments non inversibles de A.
20) Dans l’algèbre A de l’exemple 9 de I, p. 20, la fonction identique z n’est
ni inversible, ni diviseur de zéro topologique.
21) Soit A une algèbre normée unifère. Soit B l’algèbre normée L (A). Alors
l’image de A par le morphisme x → γ x est une sous-algèbre pleine de B. Donc,
si x ∈ A, on a Sp A (x) = Sp B (γ x ).
¶ 22) Soit A une algèbre de Banach.
a) Soit S l’ensemble des suites bornées d’éléments de A, avec la norme
(x n ) = sup x n . Soit R l’ensemble des (x n ) ∈ S tels que x n tende
vers 0. Alors S est une algèbre de Banach et R est un idéal bilatère fermé de
S.
Soient S
= S/R et ϕ : S → S
le morphisme canonique.
b) L’application θ de A dans S
définie par θ(x) = ϕ(x, x, x, . . .) est un
isomorphisme isométrique de A sur une sous-algèbre de S
. Tout diviseur de
zéro topologique à gauche dans S
est diviseur de zéro à gauche. Pour que
x ∈ A soit diviseur de zéro topologique à gauche, il faut et il suffit que θ(x)
soit diviseur de zéro à gauche dans S
.
c) On suppose que A possède un élément unité. Démontrer qu’il existe une
algèbre de Banach B et un isomorphisme isométrique de A sur une sousalgèbre de B telle qu’un élément de A soit non inversible si, et seulement si,
son image dans B est un diviseur de zéro à gauche ou à droite. (Utiliser a)
et les exerc. 19 et 21.)
23) Soient A une algèbre normée et R son radical.
a) Si x ∈ R, alors x est quasi-nilpotent. (On a Sp
A (x) = {0} et a fortiori
Sp
A
(x) = {0}.)
b) Supposons que A est une algèbre de Banach. Soit I un idéal à gauche de A
dont tous les éléments sont quasi-nilpotents. Alors I ⊂ R. (On peut supposer
EXERCICES
TS I.159
18) Soit A une algèbre de Banach unifère. L’ensemble des x qui ne sont ni
inversibles, ni diviseurs de zéro topologiques, est ouvert dans A.
19) Soient X un espace de Banach complexe et x ∈ A = L (X).
a) Si x n’est pas inversible, alors x est diviseur de zéro topologique à gauche
ou à droite. (Envisager successivement les cas suivants :
1
◦ ) x est non injectif ;
2
◦ ) x(X) = X ;
3
◦ ) x est injectif, x(X) est dense dans X et distinct de X.)
b) Si x applique bicontinûment X sur un sous-espace vectoriel fermé de X
distinct de X, ou si x est non injectif et d’image X, alors x est intérieur à
l’ensemble des éléments non inversibles de A.
20) Dans l’algèbre A de l’exemple 9 de I, p. 20, la fonction identique z n’est
ni inversible, ni diviseur de zéro topologique.
21) Soit A une algèbre normée unifère. Soit B l’algèbre normée L (A). Alors
l’image de A par le morphisme x → γ x est une sous-algèbre pleine de B. Donc,
si x ∈ A, on a Sp A (x) = Sp B (γ x ).
¶ 22) Soit A une algèbre de Banach.
a) Soit S l’ensemble des suites bornées d’éléments de A, avec la norme
(x n ) = sup x n . Soit R l’ensemble des (x n ) ∈ S tels que x n tende
vers 0. Alors S est une algèbre de Banach et R est un idéal bilatère fermé de
S.
Soient S
= S/R et ϕ : S → S
le morphisme canonique.
b) L’application θ de A dans S
définie par θ(x) = ϕ(x, x, x, . . .) est un
isomorphisme isométrique de A sur une sous-algèbre de S
. Tout diviseur de
zéro topologique à gauche dans S
est diviseur de zéro à gauche. Pour que
x ∈ A soit diviseur de zéro topologique à gauche, il faut et il suffit que θ(x)
soit diviseur de zéro à gauche dans S
.
c) On suppose que A possède un élément unité. Démontrer qu’il existe une
algèbre de Banach B et un isomorphisme isométrique de A sur une sousalgèbre de B telle qu’un élément de A soit non inversible si, et seulement si,
son image dans B est un diviseur de zéro à gauche ou à droite. (Utiliser a)
et les exerc. 19 et 21.)
23) Soient A une algèbre normée et R son radical.
a) Si x ∈ R, alors x est quasi-nilpotent. (On a Sp
A (x) = {0} et a fortiori
Sp
A
(x) = {0}.)
b) Supposons que A est une algèbre de Banach. Soit I un idéal à gauche de A
dont tous les éléments sont quasi-nilpotents. Alors I ⊂ R. (On peut supposer