TS I.158
EXERCICES
§ 2
a) Soit x ∈ L (H) défini par x(f m ) = α m f m+1 pour m 1. Démontrer
que x n’est pas quasi-nilpotent. (Observer que
x
n = sup
m
(α m α m+1 . . . α m+n−1 ),
et évaluer α 1 α 2 . . . α 2 t −1 .)
b) Soit x k ∈ L (H) défini par x k (f m ) = 0 si m est le produit de 2
k par un
nombre impair, et x k (f m ) = α m f m+1 sinon. Démontrer que x k est nilpotent
et que (x k ) converge vers x quand k tend vers +∞.
13) Soit A une algèbre de Banach unifère. Soit x ∈ A tel que x − 1 < 1.
Il existe y ∈ A tel que y
2 = x.
14) Soit A une algèbre normée unifère complexe. Si x
−1 = x
−1 pour
tout élément inversible x de A, on a A = C · 1. (Se ramener au cas où A est
complète. Soit x ∈ A, à une distance α > 0 de C · 1. Si λ 0 ∈ C est tel que
x − λ 0 soit inversible, alors x − λ est inversible pour |λ − λ 0 | < α. En déduire
que le spectre de x serait vide.)
15) Soit A une algèbre normée unifère complexe dans laquelle le seul diviseur
de zéro topologique à gauche est 0 et le seul diviseur de zéro topologique à
droite est 0. Alors A = C · 1. (Si x ∈ A, et si λ appartient à la frontière de
Sp
A
(x), alors x − λ est diviseur de zéro topologique dans
A, donc dans A,
donc x = λ.)
16) Soit A une algèbre de Banach unifère complexe. Soit a un élément de A.
On appelle spectre singulier de A l’ensemble des λ ∈ C tels que a − λe est
un diviseur de zéro topologique à gauche et à droite dans A.
a) Montrer que le spectre singulier de A est contenu dans le spectre de A,
et contient la frontière du spectre de A.
b) Soit f ∈ C[X] un polynôme. L’image par f du spectre singulier de a est
le spectre singulier de f (a).
17) Soit A une algèbre normée. Pour tout x ∈ A, on pose :
λ(x) = inf
y =0
xy
y
λ
(x) = inf
y =0
yx
y
.
a) On a
|λ(x) − λ(y)| x − y,
|λ
(x) − λ
(y)| x − y,
λ(x)λ(y) λ(xy) xλ(y),
λ
(x)λ
(y) λ
(xy) λ
(x)y.
b) L’ensemble des diviseurs de zéro topologiques à gauche (resp. à droite)
dans A est fermé.