§ 2
EXERCICES
TS I.157
b) Montrer que s 1 = s 2 = 0. On peut montrer (« théorème de Szemerédi »,
cf. E. Szemerédi, On sets of integers containing no k elements in arithmetic
progression, Acta Arithmetica XXVII, 1975, 199–245) que s k = 0 pour tout
k 1 ; pour le cas k = 3, cf. exercice 23 de II, p. 270.
7) Soit A une algèbre normée.
a) Soit S une partie bornée non vide de A. Montrer que la limite
(S) = lim
n→+∞
sup
x∈S n
x
1/n
existe et que (S) = (x) si S est réduite à un seul élément x. On dit que
(S) est le rayon spectral de la partie S.
b) Soit N l’ensemble des normes p sur A, équivalentes à la norme de A, et
telles que A, muni de p, est une algèbre normée. Soit X un sous-ensemble
de A. Pour qu’il existe p ∈ N tel que p(x) 1 pour tout x ∈ X, il faut et il
suffit qu’il existe un nombre réel c 0 tel que
sup
n1
sup
x∈X n
x c.
c) Montrer que
(S) = inf
p∈N
sup
x∈S
p(x).
8) Soit A l’algèbre des fonctions complexes continues sur R tendant vers 0 à
l’infini, munie de la norme f = sup t∈R |f (t)|. Alors
A s’identifie à l’algèbre
des fonctions complexes continues sur R tendant vers une limite finie à l’infini.
Sur
A, la norme g = sup t∈R |g(t)| diffère de la norme définie au n
o 1 de I,
p. 15.
9) Soient A une algèbre normée et b = inf x =0 x
2 /x
2 . Alors
b inf
x =0
(x)
x
√
b.
10) Soient A une algèbre normée et x, y ∈ A. On a (xy) = (yx).
11) Soient H un espace hilbertien de type dénombrable et (f n ) n1 une base
orthonormale de H. Soit A l’algèbre normée L (H). Soit x ∈ A l’élément
défini par x(f i ) = 2
−i f i+1 . Démontrer que x est quasi–nilpotent, mais non
nilpotent.
¶ 12) Soient H un espace hilbertien de type dénombrable et (f n ) n1 une base
orthonormale de H. On définit les nombres (α m ) m1 par α m = e
−k si m est
le produit de 2
k par un nombre impair.
EXERCICES
TS I.157
b) Montrer que s 1 = s 2 = 0. On peut montrer (« théorème de Szemerédi »,
cf. E. Szemerédi, On sets of integers containing no k elements in arithmetic
progression, Acta Arithmetica XXVII, 1975, 199–245) que s k = 0 pour tout
k 1 ; pour le cas k = 3, cf. exercice 23 de II, p. 270.
7) Soit A une algèbre normée.
a) Soit S une partie bornée non vide de A. Montrer que la limite
(S) = lim
n→+∞
sup
x∈S n
x
1/n
existe et que (S) = (x) si S est réduite à un seul élément x. On dit que
(S) est le rayon spectral de la partie S.
b) Soit N l’ensemble des normes p sur A, équivalentes à la norme de A, et
telles que A, muni de p, est une algèbre normée. Soit X un sous-ensemble
de A. Pour qu’il existe p ∈ N tel que p(x) 1 pour tout x ∈ X, il faut et il
suffit qu’il existe un nombre réel c 0 tel que
sup
n1
sup
x∈X n
x c.
c) Montrer que
(S) = inf
p∈N
sup
x∈S
p(x).
8) Soit A l’algèbre des fonctions complexes continues sur R tendant vers 0 à
l’infini, munie de la norme f = sup t∈R |f (t)|. Alors
A s’identifie à l’algèbre
des fonctions complexes continues sur R tendant vers une limite finie à l’infini.
Sur
A, la norme g = sup t∈R |g(t)| diffère de la norme définie au n
o 1 de I,
p. 15.
9) Soient A une algèbre normée et b = inf x =0 x
2 /x
2 . Alors
b inf
x =0
(x)
x
√
b.
10) Soient A une algèbre normée et x, y ∈ A. On a (xy) = (yx).
11) Soient H un espace hilbertien de type dénombrable et (f n ) n1 une base
orthonormale de H. Soit A l’algèbre normée L (H). Soit x ∈ A l’élément
défini par x(f i ) = 2
−i f i+1 . Démontrer que x est quasi–nilpotent, mais non
nilpotent.
¶ 12) Soient H un espace hilbertien de type dénombrable et (f n ) n1 une base
orthonormale de H. On définit les nombres (α m ) m1 par α m = e
−k si m est
le produit de 2
k par un nombre impair.