TS I.156
EXERCICES
§ 2
c) Soient S un ensemble et G = D(F(S)) le groupe dérivé du groupe libre
engendré par S. Le groupe G est égal à son groupe dérivé, et pour tout g ∈ G,
g = e, on a lsc(g) 1/2. Il existe g ∈ G tel que lsc(g) = 1/2.
4) Soit n 1 un entier. On note S(n) le plus grand entier k 0 tel que,
pour tout ensemble X de n nombres réels, il existe un sous-ensemble Y ⊂ X
de cardinal k tel que l’équation x + y = z n’admette aucune solution dans Y.
On a donc S(n) n.
a) Montrer que la limite
σ = lim
n→+∞
S(n)
n
existe.
b) Montrer que σ 2/5.
c) Montrer que σ 1/3.
(On peut montrer que σ = 1/3, cf. S. Eberhard, B. Green, F. Manners,
Sets of integers with no large sum-free subset, Annals of Mathematics 180
(2014), 621–652.)
5) Soient A un anneau commutatif et n 1 un entier. Pour une matrice
M = (m i,j ) de type (n, n) à coefficients dans A, on appelle permanent de M
l’élément
per(M) =
σ∈Sn
m 1,σ(1) · · · m n,σ(n)
de A.
Soit k 1 un entier. On note X n,k l’ensemble des matrices M de type (n, n)
à coefficients réels telles que chaque colonne de M contient k coefficients égaux
à 1, tous les autres étant nuls.
Montrer que la limite
lim
n→+∞
inf
M∈X n,k
per(M)
1/n
existe.
6) Soit k 1 un entier. Pour tout entier N 1, on note S k (N) le plus
grand cardinal d’un ensemble A ⊂ {1, . . . , N} qui ne contient pas k éléments
en progression arithmétique, c’est-à-dire que, quels que soient n 0 0, h 1,
1, si {n 0 + h, n 0 + 2h, . . . , n 0 + h} ⊂ A, alors < k.
a) Montrer que la limite
s k = lim
N→+∞
S k (N)
N
existe.