§ 2
EXERCICES
TS I.155
§ 2
1) Soit (A, e) une algèbre unifère complexe.
a) Pour une forme linéaire λ ∈ A
∗ telle que λ(e) = 1, les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) Pour tout x ∈ Ker(λ), on a x
2 ∈ Ker(λ) ;
(ii) Pour tout x ∈ A, on a λ(x
2 ) = λ(x)
2 ;
(iii) Le noyau de λ est un idéal à droite de A ;
(iv) La forme linéaire λ est un morphisme unifère de A dans C.
(Observer que λ(x − λ(x)e) = 0 pour tout x ∈ A.)
b) Soit λ ∈ A
∗ une forme linéaire telle que λ(1) = 1 et telle que pour tout
x ∈ A, on a λ(x) ∈ Sp A (x). Soit x ∈ Ker(λ) tel que λ(x
2 ) = 0. Le spectre
de x n’est pas borné dans C. (Pour n 2 entier, considérer le polynôme
p ∈ C[X] tel que p(z) = λ((ze − x)
n ) pour tout z ∈ C ; observer que ses
racines appartiennent au spectre de x et minorer leur norme euclidienne en
fonction de |λ(x
2 )|.)
c) On suppose que A est une algèbre de Banach. Pour qu’une forme linéaire
λ sur A soit un morphisme unifère de A dans C, il faut et il suffit que λ(e) = 1
et que λ(x) ∈ Sp A (x) pour tout x ∈ A.
2) Soit n 0 un entier. Soit A n l’algèbre de Banach commutative complexe des fonctions f : [0, 1] → C admettant des dérivées continues dans [0, 1]
jusqu’à l’ordre n, munie de la norme
f =
n
k=0
1
k!
sup
0t1
|f
(k) (t)|
(exemple 4 de I, p. 18). Montrer que A n est isomorphe à A m si, et seulement
si, n = m. (Cependant, d’après l’exemple 1 de I, p. 144, ces algèbres de
Banach ont toutes le même espace de caractères).
3) Soit G un groupe égal à son groupe dérivé (A, I, p. 67). Pour tout g ∈ G,
on note (g) le plus petit entier k 0 tel qu’il existe des couples (a 1 , b 1 ), . . . ,
(a k , b k ) dans G × G vérifiant g = [a 1 , b 1 ] · · · [a k , b k ].
a) L’application est une distance sur G.
b) Pour tout g ∈ G, la limite
lsc(g) = lim
n→+∞
(g
n )
n
existe. On l’appelle longueur stable des commutateurs de g.