TS I.154
EXERCICES
§ 1
χ 0 (u 0 ) = 1. On a u i = u 0 x i ∈ I. Alors si |(χ − χ 0 )(u i )| δ (i = 0, 1, . . . , n)
avec δ assez petit, on a χ ∈ V.)
5) Dans l’exerc. 4, on prend A = C[X, Y] et I = AX. L’espace X(A) s’identifie à C
2 , S {0} s’identifie à {0} × C. Soit U l’ensemble des (ξ, η) ∈ C
2
tels que |ξ| < e
−|η| . Démontrer que X
(h)(U) n’est pas un voisinage de 0 dans
X
(I). En déduire que X
(I) ne s’identifie pas à l’espace quotient de X
(A)
par la relation d’équivalence que définit X
(h). (À ce sujet, cf. I, p. 169,
exerc. 17.)
6) Soient A une algèbre commutative sur un corps commutatif et I un idéal
maximal de A. Démontrer qu’on a A
2 ⊂ I avec dim(A/I) = 1, ou bien que
A/I est un corps. (Appliquer à A/I l’exerc. 3 de A, I, p. 153.) En particulier,
si A
2 = A, tout idéal maximal de A est régulier.
7) Soient A une algèbre commutative sur un corps commutatif K, x ∈ A
et α ∈ K. L’ensemble des χ ∈ X(A) tels que (G x)(χ) = α est fermé pour la
topologie de Jacobson. (Se ramener au cas où A possède un élément unité,
puis au cas où α = 0.)
¶ 8) Soient A une algèbre, I un idéal bilatère de A, J
I (A) l’ensemble des idéaux
primitifs de A qui ne contiennent pas I, et
A
I l’ensemble des représentations
irréductibles π ∈
A telles que π(I) = 0.
a) Si π ∈
A
I , on a π|I ∈ I (lemme 5, a) de I, p. 12). Si des représentations
π et π
∈
A sont telles que π|I et π
|I sont équivalentes, alors π et π
sont
équivalentes. (On peut supposer que π(x) = π
(x) pour tout x ∈ I. Alors,
pour tout y ∈ A, π(y) et π
(y) coïncident sur
x∈I Im π(x), et ce sous-espace
est égal à l’espace de π.)
b) Si π ∈ I, π se prolonge en un élément de
A
I . (Soit R un idéal à gauche
maximal régulier de I. Soit g une unité à droite de I modulo R. Supposant
que A admet un élément unité, montrer que la relation AR + A(1 − g) = A
entraînerait g
2 ∈ R. Donc AR + A(1 − g) est contenu dans un idéal à gauche
maximal M de A. Démontrer que M ∩ I = R et M + I = A.)
c) Déduire de a) et b) que l’application I
→ I
∩ I est un homéomorphisme
de J
I (A) sur J(I), et que l’application π → π|I est un homéomorphisme de
A
I sur I.
EXERCICES
§ 1
χ 0 (u 0 ) = 1. On a u i = u 0 x i ∈ I. Alors si |(χ − χ 0 )(u i )| δ (i = 0, 1, . . . , n)
avec δ assez petit, on a χ ∈ V.)
5) Dans l’exerc. 4, on prend A = C[X, Y] et I = AX. L’espace X(A) s’identifie à C
2 , S {0} s’identifie à {0} × C. Soit U l’ensemble des (ξ, η) ∈ C
2
tels que |ξ| < e
−|η| . Démontrer que X
(h)(U) n’est pas un voisinage de 0 dans
X
(I). En déduire que X
(I) ne s’identifie pas à l’espace quotient de X
(A)
par la relation d’équivalence que définit X
(h). (À ce sujet, cf. I, p. 169,
exerc. 17.)
6) Soient A une algèbre commutative sur un corps commutatif et I un idéal
maximal de A. Démontrer qu’on a A
2 ⊂ I avec dim(A/I) = 1, ou bien que
A/I est un corps. (Appliquer à A/I l’exerc. 3 de A, I, p. 153.) En particulier,
si A
2 = A, tout idéal maximal de A est régulier.
7) Soient A une algèbre commutative sur un corps commutatif K, x ∈ A
et α ∈ K. L’ensemble des χ ∈ X(A) tels que (G x)(χ) = α est fermé pour la
topologie de Jacobson. (Se ramener au cas où A possède un élément unité,
puis au cas où α = 0.)
¶ 8) Soient A une algèbre, I un idéal bilatère de A, J
I (A) l’ensemble des idéaux
primitifs de A qui ne contiennent pas I, et
A
I l’ensemble des représentations
irréductibles π ∈
A telles que π(I) = 0.
a) Si π ∈
A
I , on a π|I ∈ I (lemme 5, a) de I, p. 12). Si des représentations
π et π
∈
A sont telles que π|I et π
|I sont équivalentes, alors π et π
sont
équivalentes. (On peut supposer que π(x) = π
(x) pour tout x ∈ I. Alors,
pour tout y ∈ A, π(y) et π
(y) coïncident sur
x∈I Im π(x), et ce sous-espace
est égal à l’espace de π.)
b) Si π ∈ I, π se prolonge en un élément de
A
I . (Soit R un idéal à gauche
maximal régulier de I. Soit g une unité à droite de I modulo R. Supposant
que A admet un élément unité, montrer que la relation AR + A(1 − g) = A
entraînerait g
2 ∈ R. Donc AR + A(1 − g) est contenu dans un idéal à gauche
maximal M de A. Démontrer que M ∩ I = R et M + I = A.)
c) Déduire de a) et b) que l’application I
→ I
∩ I est un homéomorphisme
de J
I (A) sur J(I), et que l’application π → π|I est un homéomorphisme de
A
I sur I.