Exercices
§ 1
1) Soient (e 1 , e 2 ) la base canonique de R
2 et u l’élément de A = L (R
2 )
défini par u(e 1 ) = e 2 , u(e 2 ) = −e 1 . Démontrer que Sp A (u) = ∅ et Sp A (u
2 ) =
{−1}.
2) Soient µ la mesure de Lebesgue sur [0, 1], H l’espace hilbertien
L
2
C ([0, 1], µ), A = L (H), et x ∈ A l’opérateur qui transforme la fonction f (t) en la fonction tf (t). Démontrer que Sp A (x) = [0, 1], mais que x
n’admet aucune valeur propre.
3) a) Soient H un espace hilbertien admettant une base orthonormale dénombrable (e 0 , e 1 , e 2 , . . .), et A = L (H). Soit u ∈ L (H) tel que u(e i ) = e i+1
pour tout i. Soit u
∈ L (H) tel que u
(e i ) = e i−1 pour i 1 et u
(e 0 ) = 0.
On a u
u = 1, mais uu
(e 0 ) = 0, de sorte que Sp A (u
u) = Sp A (uu
).
b) Soit A une algèbre unifère noethérienne sur un corps commutatif. Si
x, y ∈ A, on a Sp A (xy) = Sp A (yx) (utiliser l’exerc. 6 de A, VIII, p. 37).
4) Soient A une algèbre commutative sur C, I un idéal de A, h l’injection
canonique de I dans A, et S l’ensemble des χ ∈ X
(A) qui s’annulent sur I.
a) X
(h) est surjectif.
b) X
(h)|(X
(A) S) est un homéomorphisme de X
(A) S sur X(I). (Soit
χ 0 ∈ X
(A) S. Soient x 1 , . . . , x n ∈ A, ε > 0, et V le voisinage de χ 0
dans X
(A) défini par |(χ − χ 0 )(x i )| ε, (i = 1, . . . , n). Soit u 0 ∈ I tel que
§ 1
1) Soient (e 1 , e 2 ) la base canonique de R
2 et u l’élément de A = L (R
2 )
défini par u(e 1 ) = e 2 , u(e 2 ) = −e 1 . Démontrer que Sp A (u) = ∅ et Sp A (u
2 ) =
{−1}.
2) Soient µ la mesure de Lebesgue sur [0, 1], H l’espace hilbertien
L
2
C ([0, 1], µ), A = L (H), et x ∈ A l’opérateur qui transforme la fonction f (t) en la fonction tf (t). Démontrer que Sp A (x) = [0, 1], mais que x
n’admet aucune valeur propre.
3) a) Soient H un espace hilbertien admettant une base orthonormale dénombrable (e 0 , e 1 , e 2 , . . .), et A = L (H). Soit u ∈ L (H) tel que u(e i ) = e i+1
pour tout i. Soit u
∈ L (H) tel que u
(e i ) = e i−1 pour i 1 et u
(e 0 ) = 0.
On a u
u = 1, mais uu
(e 0 ) = 0, de sorte que Sp A (u
u) = Sp A (uu
).
b) Soit A une algèbre unifère noethérienne sur un corps commutatif. Si
x, y ∈ A, on a Sp A (xy) = Sp A (yx) (utiliser l’exerc. 6 de A, VIII, p. 37).
4) Soient A une algèbre commutative sur C, I un idéal de A, h l’injection
canonique de I dans A, et S l’ensemble des χ ∈ X
(A) qui s’annulent sur I.
a) X
(h) est surjectif.
b) X
(h)|(X
(A) S) est un homéomorphisme de X
(A) S sur X(I). (Soit
χ 0 ∈ X
(A) S. Soient x 1 , . . . , x n ∈ A, ε > 0, et V le voisinage de χ 0
dans X
(A) défini par |(χ − χ 0 )(x i )| ε, (i = 1, . . . , n). Soit u 0 ∈ I tel que