TS I.150
FONCTIONS CONTINUES SUR UN ESPACE COMPACT
§ 8
Prouvons l’assertion d). Appliquons la prop. 3 de I, p. 144 à l’algèbre B = R E (X). L’assertion b) de loc. cit. implique que l’application qui à χ associe χ(z) est un homéomorphisme de X(R E (X)) dans
Sp R E (X) (z). Soit z E l’application identique de X E . D’après loc. cit.,
a), on a Sp R E (X) (z) = Sp R E (X E ) (z E ). Il suffit donc de montrer que
Sp R E (X E ) (z E ) = X E . Le cor. de la prop. 6 de I, p. 28 démontre que
Sp R E (X E ) (z E ) est la réunion de Sp C (X E ) (z E ) = X E et de certaines
composantes connexes bornées du complémentaire de X E . Soit O i
l’une des composantes connexes bornées du complémentaire de X E .
L’intersection E ∩ O i est donc non vide. Soit λ ∈ E ∩ O i ; puisque
(λ − z E ) −1 ∈ R E (X E ), on a λ ∈ Sp R E (X E ) (z E ). Ainsi, O i n’est pas
contenu dans Sp R E (X E ) (z E ). Cela montre que Sp R E (X E ) (z E ) = X E .
Cette égalité implique par ailleurs que Sp R E (X E ) (z E ) = Sp C (X E ) (z E ).
Cela établit la condition (iii) de la prop. 11 de I, p. 41, appliquée à
l’injection canonique de R E (X E ) dans C (X E ) et à l’élément z E . Les
assertions b) et c) sont les conditions équivalentes (i) et (ii) de loc. cit.
L’assertion d) démontre que X E = X E si R E (X) = R E (X). Réciproquement, supposons que X E = X E . En remplaçant E par E ∪ E ,
on peut supposer que E ⊂ E . D’après b), l’algèbre R E (X E ) est une
sous-algèbre fermée pleine de C (X E ), et donc aussi de R E (X E ). Elle
contient z E , et donc R E (X E ) = R E (X E ). Appliquant a), on en déduit que R E (X) = R E (X). Finalement l’équivalence de X E = X E et
I(E) = I(E ) est une conséquence des définitions.
Corollaire 1. — Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) L’ensemble E rencontre toutes les composantes connexes bornées de C X ;
(ii) L’application χ → χ(z) est un homéomorphisme de X(R E (X))
sur X ;
(iii) On a R E (X) = R(X).
Soit E = C X. Les conditions (i), (ii) et (iii) sont respectivement
équivalentes à I(E) = I(E ), à X E = X E (d’après la prop. 5, d)) et
à R E (X) = R E (X). Elles sont donc équivalentes entre elles d’après la
prop. 5, e).
Le corollaire suivant précise le théorème de Runge (th. 3 de I, p. 69).
Corollaire 2 (Théorème de Runge). — Pour tout i ∈ I, soit λ i
un point de O i . Soit f une fonction complexe holomorphe dans un
FONCTIONS CONTINUES SUR UN ESPACE COMPACT
§ 8
Prouvons l’assertion d). Appliquons la prop. 3 de I, p. 144 à l’algèbre B = R E (X). L’assertion b) de loc. cit. implique que l’application qui à χ associe χ(z) est un homéomorphisme de X(R E (X)) dans
Sp R E (X) (z). Soit z E l’application identique de X E . D’après loc. cit.,
a), on a Sp R E (X) (z) = Sp R E (X E ) (z E ). Il suffit donc de montrer que
Sp R E (X E ) (z E ) = X E . Le cor. de la prop. 6 de I, p. 28 démontre que
Sp R E (X E ) (z E ) est la réunion de Sp C (X E ) (z E ) = X E et de certaines
composantes connexes bornées du complémentaire de X E . Soit O i
l’une des composantes connexes bornées du complémentaire de X E .
L’intersection E ∩ O i est donc non vide. Soit λ ∈ E ∩ O i ; puisque
(λ − z E ) −1 ∈ R E (X E ), on a λ ∈ Sp R E (X E ) (z E ). Ainsi, O i n’est pas
contenu dans Sp R E (X E ) (z E ). Cela montre que Sp R E (X E ) (z E ) = X E .
Cette égalité implique par ailleurs que Sp R E (X E ) (z E ) = Sp C (X E ) (z E ).
Cela établit la condition (iii) de la prop. 11 de I, p. 41, appliquée à
l’injection canonique de R E (X E ) dans C (X E ) et à l’élément z E . Les
assertions b) et c) sont les conditions équivalentes (i) et (ii) de loc. cit.
L’assertion d) démontre que X E = X E si R E (X) = R E (X). Réciproquement, supposons que X E = X E . En remplaçant E par E ∪ E ,
on peut supposer que E ⊂ E . D’après b), l’algèbre R E (X E ) est une
sous-algèbre fermée pleine de C (X E ), et donc aussi de R E (X E ). Elle
contient z E , et donc R E (X E ) = R E (X E ). Appliquant a), on en déduit que R E (X) = R E (X). Finalement l’équivalence de X E = X E et
I(E) = I(E ) est une conséquence des définitions.
Corollaire 1. — Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) L’ensemble E rencontre toutes les composantes connexes bornées de C X ;
(ii) L’application χ → χ(z) est un homéomorphisme de X(R E (X))
sur X ;
(iii) On a R E (X) = R(X).
Soit E = C X. Les conditions (i), (ii) et (iii) sont respectivement
équivalentes à I(E) = I(E ), à X E = X E (d’après la prop. 5, d)) et
à R E (X) = R E (X). Elles sont donc équivalentes entre elles d’après la
prop. 5, e).
Le corollaire suivant précise le théorème de Runge (th. 3 de I, p. 69).
Corollaire 2 (Théorème de Runge). — Pour tout i ∈ I, soit λ i
un point de O i . Soit f une fonction complexe holomorphe dans un