N
o 3 FONCTIONS SUR UN SOUS-ENSEMBLE COMPACT DE C TS I.149
dont tous les pôles appartiennent à E. L’algèbre R E (X) est une sousalgèbre de Banach unifère de C (X) qui sépare les points de X. Soit z
la fonction identique sur X. La sous-algèbre fermée pleine de R E (X)
engendrée par z est égale à R E (X) (lemme 2 de I, p. 6). Les éléments
de R E (X) sont holomorphes dans l’intérieur de X.
On a en particulier R ∅ (X) = P(X). On note R(X) = R C X (X). On
note I(E) l’ensemble des éléments i ∈ I tels que E ∩ O i = ∅, et
X E = X ∪
i∈I(E)
O i
.
L’ensemble X E est compact, car borné et fermé, son complémentaire
dans C étant la réunion de l’ouvert O ∞ et des ouverts O i qui rencontrent E.
Proposition 5. — Avec les notations ci-dessus :
a) L’application de restriction h de R E (X E ) dans R E (X) est un isomorphisme isométrique ;
b) L’algèbre R E (X E ) est une sous-algèbre pleine de C (X E ) ;
c) Tout caractère de R E (X E ) est de la forme f → f (w), où w est
un élément de X E ;
d) L’application χ → χ(z) est un homéomorphisme de X(R E (X))
sur X E ;
e) Si E est une partie de C X, on a R E (X) = R E (X) si et seulement si X E = X E , ce qui équivaut aussi à I(E) = I(E ).
L’application de restriction h de R E (X E ) dans R E (X) est un morphisme d’algèbres de Banach tel que h(f ) f pour toute fonction
f ∈ R E (X E ). Soit f ∈ R E (X E ). Soit i ∈ I(E). Puisque f est holomorphe
au voisinage de l’ouvert borné O i , le principe du maximum (VAR, I,
p. 29) implique qu’il existe un élément z 0 dans la frontière de O i tel
que |f (z 0 )| = sup z∈O i |f (z)|. Comme la frontière de O i est contenue
dans X (lemme 1), on en déduit que sup z∈O i |f (z)| h(f ). Puisque
cette inégalité vaut pour tout i ∈ I(E), il en résulte que f h(f ).
Le morphisme h est donc isométrique, et en particulier injectif. Démontrons maintenant qu’il est surjectif. Soit g ∈ R E (X). Il existe une
suite (f n ) de fonctions rationnelles dont les pôles appartiennent à E
qui converge uniformément vers g sur X. Les f n |X E sont des éléments
de R E (X E ). Puisque h est isométrique, la suite (f n |X E ) converge dans
C (X E ). Si f est sa limite, on a f ∈ R E (X E ) et g = f |X = h(f ). D’où a).
o 3 FONCTIONS SUR UN SOUS-ENSEMBLE COMPACT DE C TS I.149
dont tous les pôles appartiennent à E. L’algèbre R E (X) est une sousalgèbre de Banach unifère de C (X) qui sépare les points de X. Soit z
la fonction identique sur X. La sous-algèbre fermée pleine de R E (X)
engendrée par z est égale à R E (X) (lemme 2 de I, p. 6). Les éléments
de R E (X) sont holomorphes dans l’intérieur de X.
On a en particulier R ∅ (X) = P(X). On note R(X) = R C X (X). On
note I(E) l’ensemble des éléments i ∈ I tels que E ∩ O i = ∅, et
X E = X ∪
i∈I(E)
O i
.
L’ensemble X E est compact, car borné et fermé, son complémentaire
dans C étant la réunion de l’ouvert O ∞ et des ouverts O i qui rencontrent E.
Proposition 5. — Avec les notations ci-dessus :
a) L’application de restriction h de R E (X E ) dans R E (X) est un isomorphisme isométrique ;
b) L’algèbre R E (X E ) est une sous-algèbre pleine de C (X E ) ;
c) Tout caractère de R E (X E ) est de la forme f → f (w), où w est
un élément de X E ;
d) L’application χ → χ(z) est un homéomorphisme de X(R E (X))
sur X E ;
e) Si E est une partie de C X, on a R E (X) = R E (X) si et seulement si X E = X E , ce qui équivaut aussi à I(E) = I(E ).
L’application de restriction h de R E (X E ) dans R E (X) est un morphisme d’algèbres de Banach tel que h(f ) f pour toute fonction
f ∈ R E (X E ). Soit f ∈ R E (X E ). Soit i ∈ I(E). Puisque f est holomorphe
au voisinage de l’ouvert borné O i , le principe du maximum (VAR, I,
p. 29) implique qu’il existe un élément z 0 dans la frontière de O i tel
que |f (z 0 )| = sup z∈O i |f (z)|. Comme la frontière de O i est contenue
dans X (lemme 1), on en déduit que sup z∈O i |f (z)| h(f ). Puisque
cette inégalité vaut pour tout i ∈ I(E), il en résulte que f h(f ).
Le morphisme h est donc isométrique, et en particulier injectif. Démontrons maintenant qu’il est surjectif. Soit g ∈ R E (X). Il existe une
suite (f n ) de fonctions rationnelles dont les pôles appartiennent à E
qui converge uniformément vers g sur X. Les f n |X E sont des éléments
de R E (X E ). Puisque h est isométrique, la suite (f n |X E ) converge dans
C (X E ). Si f est sa limite, on a f ∈ R E (X E ) et g = f |X = h(f ). D’où a).