TS I.148
FONCTIONS CONTINUES SUR UN ESPACE COMPACT
§ 8
Corollaire 1. — Soient Λ un ensemble et X une partie compacte
de C Λ . On identifie X à une partie de X(P(X)) (prop. 1 de I, p. 142,
d)). Soit (z λ ) λ∈Λ la famille des fonctions coordonnées sur C Λ .
a) L’application θ de X(P(X)) sur Sp
Λ
P(X) ((z λ )) définie par la famille
(z λ ) est un homéomorphisme de X(P(X)) sur l’enveloppe polynomialement convexe Y de X. Sa restriction à X est l’application identique
de X ;
b) Pour toute fonction f ∈ P(X), l’homéomorphisme θ transforme
le prolongement G P(X) (f ) de f à X(P(X)) en un prolongement
f de
f à Y. L’application f →
f est l’isomorphisme canonique de P(X)
sur P(Y).
Dans la prop. 4, prenons B = P(X) et x λ = z λ . Alors ϕ devient
l’application identique et ϕ devient l’application θ. Les assertions du
corollaire se réduisent alors à celles de loc. cit.
Corollaire 2. — Soit Λ un ensemble et soit X ⊂ C Λ un ensemble
compact. Si X est connexe, alors son enveloppe polynomialement
convexe est connexe.
Si X est connexe, les seuls idempotents de C (X), donc de P(X),
sont 0 et 1 (cor. de la prop. I, p. 79). Par conséquent, l’espace X(P(X))
est connexe (loc. cit.) ; or cet ensemble est homémorphe à l’enveloppe
polynomialement convexe de X (cor. 1, a)).
3. Fonctions continues sur un sous-ensemble compact de C
Lemme 1. — Soit X un sous-ensemble compact du plan et soit O une
composante connexe bornée de C X. La frontière de O est contenue
dans X.
L’adhérence de l’ensemble O dans C X est égale à O ∩ (C X) où
O est son adhérence dans C. Comme O est une composante connexe
de C X, on a donc O ∩ (C X) = O, ce qui démontre bien que
O O ⊂ X.
Soit X une partie compacte de C. Soit O ∞ la composante connexe
non bornée de C X, et soit (O i ) i∈I la famille des composantes connexes
bornées de C X, les parties O i étant deux à deux distinctes.
Soit E une partie de C X. On note R E (X) l’adhérence dans C (X)
de l’ensemble des fonctions f |X, où f est une fonction rationnelle sur C
FONCTIONS CONTINUES SUR UN ESPACE COMPACT
§ 8
Corollaire 1. — Soient Λ un ensemble et X une partie compacte
de C Λ . On identifie X à une partie de X(P(X)) (prop. 1 de I, p. 142,
d)). Soit (z λ ) λ∈Λ la famille des fonctions coordonnées sur C Λ .
a) L’application θ de X(P(X)) sur Sp
Λ
P(X) ((z λ )) définie par la famille
(z λ ) est un homéomorphisme de X(P(X)) sur l’enveloppe polynomialement convexe Y de X. Sa restriction à X est l’application identique
de X ;
b) Pour toute fonction f ∈ P(X), l’homéomorphisme θ transforme
le prolongement G P(X) (f ) de f à X(P(X)) en un prolongement
f de
f à Y. L’application f →
f est l’isomorphisme canonique de P(X)
sur P(Y).
Dans la prop. 4, prenons B = P(X) et x λ = z λ . Alors ϕ devient
l’application identique et ϕ devient l’application θ. Les assertions du
corollaire se réduisent alors à celles de loc. cit.
Corollaire 2. — Soit Λ un ensemble et soit X ⊂ C Λ un ensemble
compact. Si X est connexe, alors son enveloppe polynomialement
convexe est connexe.
Si X est connexe, les seuls idempotents de C (X), donc de P(X),
sont 0 et 1 (cor. de la prop. I, p. 79). Par conséquent, l’espace X(P(X))
est connexe (loc. cit.) ; or cet ensemble est homémorphe à l’enveloppe
polynomialement convexe de X (cor. 1, a)).
3. Fonctions continues sur un sous-ensemble compact de C
Lemme 1. — Soit X un sous-ensemble compact du plan et soit O une
composante connexe bornée de C X. La frontière de O est contenue
dans X.
L’adhérence de l’ensemble O dans C X est égale à O ∩ (C X) où
O est son adhérence dans C. Comme O est une composante connexe
de C X, on a donc O ∩ (C X) = O, ce qui démontre bien que
O O ⊂ X.
Soit X une partie compacte de C. Soit O ∞ la composante connexe
non bornée de C X, et soit (O i ) i∈I la famille des composantes connexes
bornées de C X, les parties O i étant deux à deux distinctes.
Soit E une partie de C X. On note R E (X) l’adhérence dans C (X)
de l’ensemble des fonctions f |X, où f est une fonction rationnelle sur C