N
o 2 FONCTIONS SUR UN SOUS-ENSEMBLE COMPACT DE C Λ TS I.147
toute fonction coordonnée z λ sur C Λ , transforme z λ |X en z λ |Y. Cet
isomorphisme sera dit canonique.
Proposition 4. — Soit X un espace compact. Soit B une sous-algèbre
de Banach unifère de C (X), munie de la norme induite, séparant les
points de X. On identifie X à une partie fermée de X(B) (prop. 1 de
I, p. 142, d)). Soit (x λ ) λ∈Λ une famille d’éléments de B engendrant
topologiquement l’algèbre unifère B. On considère le diagramme commutatif
X
X(B)
Sp
Λ
C (X) ((x λ ))
Sp
Λ
B ((x λ ))
←
→
i
←
→
ϕ
←
→
ϕ
←
→
j
où ϕ et ϕ sont les applications définies par la famille (x λ ) λ∈Λ (cf. n
o 6
de I, p. 41), et i et j sont les injections canoniques. Alors :
a) Les applications ϕ et ϕ sont des homéomorphismes ;
b) Le spectre simultané Sp
Λ
B ((x λ )) est l’enveloppe polynomialement
convexe de Sp
Λ
C (X) ((x λ )) ;
c) L’application ϕ transforme C (X) en C (Sp
Λ
C (X) ((x λ ))) et B en
P(Sp
Λ
C (X) ((x λ ))) ;
d) L’application ϕ transforme G B (B) en P(Sp
Λ
B ((x λ ))) ;
e) Les applications ϕ et ϕ transforment G B en l’isomorphisme canonique de P(Sp
Λ
C (X) ((x λ ))) sur P(Sp
Λ
B ((x λ ))).
Les applications ϕ et ϕ sont continues et surjectives (n
o 6 de I,
p. 41). L’application ϕ est un homéomorphisme d’après l’assertion a)
de la prop. 12 de I, p. 43, et i est injective, donc ϕ est injective. Donc
ϕ et ϕ sont des homéomorphismes.
Soit X 1 = Sp
Λ
C (X) ((x λ )). L’enveloppe polynomialement convexe
de X 1 est Y 1 = Sp
Λ
B ((x λ )) d’après la prop. 14 de I, p. 46.
Pour tout λ ∈ Λ, notons z λ la fonction coordonnée correspondante
sur C Λ . L’application ϕ transforme x λ en z λ |X 1 , et ϕ transforme
G B (x λ ) en z λ |Y 1 . Donc ϕ transforme B en P(X 1 ), et ϕ transforme
G B (B) en P(Y 1 ). Finalement, ϕ et ϕ transforment G B en l’isomorphisme canonique de P(X 1 ) sur P(Y 1 ).
o 2 FONCTIONS SUR UN SOUS-ENSEMBLE COMPACT DE C Λ TS I.147
toute fonction coordonnée z λ sur C Λ , transforme z λ |X en z λ |Y. Cet
isomorphisme sera dit canonique.
Proposition 4. — Soit X un espace compact. Soit B une sous-algèbre
de Banach unifère de C (X), munie de la norme induite, séparant les
points de X. On identifie X à une partie fermée de X(B) (prop. 1 de
I, p. 142, d)). Soit (x λ ) λ∈Λ une famille d’éléments de B engendrant
topologiquement l’algèbre unifère B. On considère le diagramme commutatif
X
X(B)
Sp
Λ
C (X) ((x λ ))
Sp
Λ
B ((x λ ))
←
→
i
←
→
ϕ
←
→
ϕ
←
→
j
où ϕ et ϕ sont les applications définies par la famille (x λ ) λ∈Λ (cf. n
o 6
de I, p. 41), et i et j sont les injections canoniques. Alors :
a) Les applications ϕ et ϕ sont des homéomorphismes ;
b) Le spectre simultané Sp
Λ
B ((x λ )) est l’enveloppe polynomialement
convexe de Sp
Λ
C (X) ((x λ )) ;
c) L’application ϕ transforme C (X) en C (Sp
Λ
C (X) ((x λ ))) et B en
P(Sp
Λ
C (X) ((x λ ))) ;
d) L’application ϕ transforme G B (B) en P(Sp
Λ
B ((x λ ))) ;
e) Les applications ϕ et ϕ transforment G B en l’isomorphisme canonique de P(Sp
Λ
C (X) ((x λ ))) sur P(Sp
Λ
B ((x λ ))).
Les applications ϕ et ϕ sont continues et surjectives (n
o 6 de I,
p. 41). L’application ϕ est un homéomorphisme d’après l’assertion a)
de la prop. 12 de I, p. 43, et i est injective, donc ϕ est injective. Donc
ϕ et ϕ sont des homéomorphismes.
Soit X 1 = Sp
Λ
C (X) ((x λ )). L’enveloppe polynomialement convexe
de X 1 est Y 1 = Sp
Λ
B ((x λ )) d’après la prop. 14 de I, p. 46.
Pour tout λ ∈ Λ, notons z λ la fonction coordonnée correspondante
sur C Λ . L’application ϕ transforme x λ en z λ |X 1 , et ϕ transforme
G B (x λ ) en z λ |Y 1 . Donc ϕ transforme B en P(X 1 ), et ϕ transforme
G B (B) en P(Y 1 ). Finalement, ϕ et ϕ transforment G B en l’isomorphisme canonique de P(X 1 ) sur P(Y 1 ).