TS I.146
FONCTIONS CONTINUES SUR UN ESPACE COMPACT
§ 8
Plaçons-nous dans les hypothèses de c). L’existence de µ χ résulte
de b). D’autre part, on a µ χ (R(f )) = R(χ(f )) pour tout f ∈ B.
Puisque les parties réelles de fonctions f ∈ B sont denses dans C R (X)
par hypothèse, la mesure µ χ est déterminée de manière unique par χ.
Soit f ∈ B. Soit ε > 0 un nombre réel. Il existe, par hypothèse, une
fonction g ∈ B telle que
(2)
R(g) − ε log(|f | + ε) R(g) + ε.
Soit h = exp(g) ∈ B ∗ . D’après (2), on a
(3)
|h|e
−ε |f | + ε |h|e
ε .
La majoration implique |f h −1 | e ε , d’où |χ(f h −1 )| e ε , et par suite
(4)
log(|χ(f )|) log(|χ(h)|) + ε =
X
log(|h|) dµ χ + ε.
La minoration dans (3) implique alors
log(|χ(f )|)
X
log (|f | + ε) dµ χ + 2ε.
En faisant tendre ε vers 0, on en déduit que
log(|χ(f )|)
X
log(|f |) dµ χ .
Ceci finit la démonstration.
2. Fonctions continues sur un sous-ensemble compact de C Λ
Soient Λ un ensemble et X une partie compacte de C Λ . On note P(X)
la sous-algèbre de Banach unifère de C (X) formée des fonctions sur X
qui sont limites uniformes sur X de fonctions polynômes sur C Λ . Les
fonctions coordonnées z λ |X engendrent topologiquement P(X), et P(X)
sépare les points de X. Soit Y l’enveloppe polynomialement convexe
de X (déf. 4 de I, p. 45). Comme
sup
z∈Y
|p(z)| = sup
z∈X
|p(z)|
(cf. n
o 7 de I, p. 44) pour tout p ∈ C[(X λ ) λ∈Λ ], les suites de polynômes
uniformément convergentes dans X se prolongent de manière unique
en suites de polynômes uniformément convergentes dans Y. Il existe
donc un unique isomorphisme isométrique de P(X) sur P(Y) qui, pour