N
o 1
SOUS-ALGÈBRES
TS I.145
la fonction log|f | étant bornée supérieurement, l’intégrale existe dans
R ∪ {−∞}.
L’assertion a) résulte de l’identification de X avec un sous-espace
fermé de X(B) et des inégalités
f = sup
x∈X
|f (x)| sup
χ∈X(B)
|χ(f )| = sup|G B (f )| = B (f ) f
pour tout f ∈ B.
Soient χ ∈ X(B) et n un entier positif. Soient λ 1 , . . . , λ n ∈ R et
f 1 , . . . , f n ∈ B ∗ . On a alors
(1)
n
i=1
λ i log(|χ(f i )|) sup
x∈X
n
i=1
λ i log(|f i (x)|)
.
En effet, par continuité, il suffit de prouver cette inégalité quand les
nombres réels λ i sont rationnels. Par réduction au même dénominateur, on se ramène au cas où λ i ∈ Z pour tout i. L’inégalité s’écrit
alors
log(|χ(f
λ 1
1 · · · f
λn
n )|) sup
x∈X
log(|(f
λ 1
1 · · · f
λn
n )(x)|),
et résulte du fait que χ = 1 (th. 1 de I, p. 29).
Soit B le sous-espace vectoriel de C R (X) engendré par les fonctions
log(|f |) pour f ∈ B ∗ . La majoration (1) prouve qu’il existe une forme
linéaire h de norme 1 sur B telle que log(|χ(f )|) = h(log(|f |))
pour tout f ∈ B ∗ . D’après le théorème de Hahn–Banach (EVT, II,
p. 24, cor. 2), la forme linéaire h se prolonge en une forme linéaire µ
de norme 1 sur C R (X), c’est–à–dire en une mesure réelle µ sur X
telle que µ 1 (INT, III, §1, n o 5). En prenant pour élément f
de B ∗ la constante e = exp(1), on voit que 1 = µ(1). Donc, en écrivant
µ = µ + − µ − comme la différence de deux mesures positives étrangères
(INT, III, §1, n
o 6, th. 3), il vient
1 = µ
+ (1) − µ
− (1) µ
+ (1) + µ
− (1) = µ 1,
d’où µ = µ + 0 et µ = 1.
Pour tout f ∈ B, on a exp(f ) ∈ B ∗ , donc
X
R(f ) dµ =
X
log(|exp(f )|) dµ = log(|χ(exp(f ))|)
= log(|exp(χ(f ))|) = R(χ(f )),
où on a utilisé le cor. 1 de I, p. 66. En appliquant cette égalité à if ,
on en conclut que
X
f dµ = χ(f ). Ceci établit b).