TS I.144
FONCTIONS CONTINUES SUR UN ESPACE COMPACT
§ 8
appartiendrait à I. Or f (x) > 0 pour tout x ∈ X, et donc f serait
inversible dans C (X). Puisque B est supposée être une sous-algèbre
pleine de C (X), la fonction f ∈ I serait inversible dans B, ce qui
ne peut être. Par conséquent, l’ensemble Φ n’est pas vide. Soit y un
élément de Φ ; le noyau du caractère ev y contient I, et est donc égal à
I.
Exemple. — Soient X = [0, 1] et n 0 un entier. Soit B l’algèbre des
fonctions f : X → C admettant des dérivées continues sur [0, 1] jusqu’à
l’ordre n, munie de la norme considérée dans l’exemple 4 de I, p. 18.
Alors B est une sous-algèbre involutive pleine de C (X) séparant les
points de X, donc X(B) s’identifie à X.
On considère la fonction logarithme comme définie sur R + et à
valeurs dans R ∪ {−∞} en posant log(0) = −∞.
Proposition 3. — Soit X un espace compact. Soit B une sous-algèbre
de Banach unifère de C (X), munie de la norme induite, séparant les
points de X. On identifie X à une partie fermée de X(B) (prop. 1, d)).
a) Pour tout f ∈ B, la transformée de Gelfand G B (f ) est une fonction continue dans X(B) qui prolonge f et vérifie f = sup|G B (f )|.
En particulier, G B est un isomorphisme isométrique de B sur une sousalgèbre de Banach de C (X(B)) ;
b) Soit B ∗ l’ensemble des éléments inversibles de B. Pour tout caractère χ ∈ X(B), il existe une mesure positive µ de masse 1 sur X
telle que, pour tout f ∈ B ∗ , on ait
log(|χ(f )|) =
X
log(|f |) dµ.
De plus, pour tout f ∈ B, on a
χ(f ) =
X
f dµ ;
c) On suppose que tout élément de C R (X) est limite uniforme de
parties réelles de fonctions appartenant à B. Alors, pour tout χ ∈ X(B),
il existe une unique mesure µ χ 0 sur X telle que, pour toute fonction
f ∈ B, on ait
χ(f ) =
X
f dµ χ .
En outre, pour toute fonction f ∈ B, on a
log(|χ(f )|)
X
log(|f |) dµ χ ;