N
o 1
SOUS-ALGÈBRES
TS I.143
Pour toute fonction f ∈ B et tout x ∈ X, on a G B (f )(ev x ) = f (x),
d’où
f C (X) = sup
x∈X
|G B (f )(ev x )| B (f ) f B ,
(cf. prop. 7 de I, p. 38, a)) ce qui entraîne a). De plus, ceci montre que
la transformation de Gelfand de B est injective, d’où b) (prop. 8 de I,
p. 38). Si B sépare les points de X, alors l’application ev est injective,
d’où d) puisque X est compact.
On s’intéresse maintenant à la surjectivité de l’application ev.
Proposition 2. — Soit f → →f B une norme telle que (B, ·· B ) est
une algèbre de Banach.
a) Si l’application ev est surjective, alors l’algèbre B est une sousalgèbre pleine de C (X) ;
b) Supposons que B est une sous-algèbre pleine de C (X), et qu’il
existe un élément a ∈ B tel que l’ensemble des éléments f (a), où f parcourt l’ensemble des fonctions rationnelles sur C sans pôle sur Sp B (a),
est dense dans B. Alors l’application ev est surjective ;
c) Si B est une sous-algèbre involutive pleine de C (X), alors l’application ev est surjective.
L’assertion a) résulte de la prop. 10 de I, p. 40, et l’assertion b) de
la prop. 11 de I, p. 41, puisque la sous-algèbre pleine de B engendrée
par a est l’ensemble des éléments f (a), où f parcourt l’ensemble des
fonctions rationnelles sur C sans pôle sur Sp B (a) (lemme I, p. 6 et
prop. 6 de I, p. 37, b)).
Démontrons c). Supposons donc que B est une sous-algèbre involutive pleine de C (X). Pour démontrer que ev est surjective, il suffit de démontrer que pour tout χ ∈ X(B), il existe y ∈ X tel que
Ker(χ) = Ker(ev y ) (th. 2 de I, p. 30). Soit I = Ker(χ). C’est un idéal
maximal de B. Soit Φ l’ensemble des x ∈ X tels que f (x) = 0 pour tout
f ∈ I. Montrons que Φ n’est pas vide. Dans le cas contraire, puisque
X est compact, il existerait un entier n 1, un recouvrement ouvert
(V 1 , . . . , V n ) de X et, pour tout entier i tel que 1 i n, une fonction
f i ∈ I telle que f i (x) = 0 pour tout x ∈ V i . Comme l’algèbre B est une
sous-algèbre involutive de C (X), la fonction
f =
n
i=1
f i f i
o 1
SOUS-ALGÈBRES
TS I.143
Pour toute fonction f ∈ B et tout x ∈ X, on a G B (f )(ev x ) = f (x),
d’où
f C (X) = sup
x∈X
|G B (f )(ev x )| B (f ) f B ,
(cf. prop. 7 de I, p. 38, a)) ce qui entraîne a). De plus, ceci montre que
la transformation de Gelfand de B est injective, d’où b) (prop. 8 de I,
p. 38). Si B sépare les points de X, alors l’application ev est injective,
d’où d) puisque X est compact.
On s’intéresse maintenant à la surjectivité de l’application ev.
Proposition 2. — Soit f → →f B une norme telle que (B, ·· B ) est
une algèbre de Banach.
a) Si l’application ev est surjective, alors l’algèbre B est une sousalgèbre pleine de C (X) ;
b) Supposons que B est une sous-algèbre pleine de C (X), et qu’il
existe un élément a ∈ B tel que l’ensemble des éléments f (a), où f parcourt l’ensemble des fonctions rationnelles sur C sans pôle sur Sp B (a),
est dense dans B. Alors l’application ev est surjective ;
c) Si B est une sous-algèbre involutive pleine de C (X), alors l’application ev est surjective.
L’assertion a) résulte de la prop. 10 de I, p. 40, et l’assertion b) de
la prop. 11 de I, p. 41, puisque la sous-algèbre pleine de B engendrée
par a est l’ensemble des éléments f (a), où f parcourt l’ensemble des
fonctions rationnelles sur C sans pôle sur Sp B (a) (lemme I, p. 6 et
prop. 6 de I, p. 37, b)).
Démontrons c). Supposons donc que B est une sous-algèbre involutive pleine de C (X). Pour démontrer que ev est surjective, il suffit de démontrer que pour tout χ ∈ X(B), il existe y ∈ X tel que
Ker(χ) = Ker(ev y ) (th. 2 de I, p. 30). Soit I = Ker(χ). C’est un idéal
maximal de B. Soit Φ l’ensemble des x ∈ X tels que f (x) = 0 pour tout
f ∈ I. Montrons que Φ n’est pas vide. Dans le cas contraire, puisque
X est compact, il existerait un entier n 1, un recouvrement ouvert
(V 1 , . . . , V n ) de X et, pour tout entier i tel que 1 i n, une fonction
f i ∈ I telle que f i (x) = 0 pour tout x ∈ V i . Comme l’algèbre B est une
sous-algèbre involutive de C (X), la fonction
f =
n
i=1
f i f i