TS I.142
ENDOMORPHISMES DES ESPACES DE BANACH
§ 7
avec j sur Ker(u) ◦ et avec l’application identique sur Ker(u). Comme
j induit une isométrie de Ker(u) ◦ sur Im(u) = Ker(u ∗ ) ◦ = Ker(u) ◦
(puisque u est normal), l’endomorphisme v est unitaire ; il est de plus
permutable à |u|, puisque j|u| = |u|j, et l’on a u = v|u|.
Inversement, soit v un élément unitaire de L (E), permutable à |u|,
tel que u = v|u|. On a uu ∗ = v|u| 2 v ∗ = |u| 2 vv ∗ = |u| 2 = u ∗ u, donc u
est normal.
Soit E un espace hilbertien complexe et u ∈ L (E). Soit (j, |u|) la
décomposition polaire de u. Il est possible que j soit permutable à |u|
sans que u soit normal (exercice 11 de I, p. 189).
§ 8. ALGÈBRES DE FONCTIONS CONTINUES SUR UN
ESPACE COMPACT
Dans ce paragraphe, le corps de base est C.
1. Sous-algèbres de l’algèbre des fonctions continues sur un
espace compact
Soient X un espace topologique compact et B une sous-algèbre unifère de C (X). On note ev l’application x → ev x de X dans X(B) telle
que ev x (f ) = f (x) pour tout f ∈ B. On désigne par j l’injection de B
dans C (X), ainsi X(j) = ev.
Proposition 1. — Soit f → →f B une norme munissant B d’une
structure d’algèbre de Banach.
a) L’application j est de norme 1 dans L (B; C (X)) ;
b) Le radical de l’algèbre B est nul ;
c) L’application ev est continue de X dans X(B) ;
d) Si B sépare les points de X, alors l’application ev est un homéomorphisme de X sur une partie fermée de X(B).
On peut identifier X à X(C (X)) et G C (X) à l’application identique
(exemple 1 de I, p. 36). L’application ev s’identifie alors à X(j), ce qui
démontre c).