N
o 8
DÉCOMPOSITION POLAIRE
TS I.141
EVT, V, p. 41, prop. 5 (ii)). On a donc j ∗ u = j ∗ j|u| = |u|, puis
u ∗ j = (j ∗ u) ∗ = |u| ∗ = |u|, d’où a).
Similairement, on calcule u ∗ = |u|j ∗ = (j ∗ j|u|)j ∗ = j ∗ (j|u|j ∗ ).
L’endomorphisme j|u|j ∗ de E 2 est positif. L’application linéaire j ∗ est
partiellement isométrique d’espace initial F et d’espace final I (EVT,
V, p. 41, prop. 5) et les applications linéaires de I dans F (resp.
de F dans I) déduites de j et j ∗ par passages aux sous-espaces sont
des isomorphismes réciproques l’un de l’autre (loc. cit.). On a donc
Ker(j|u|j ∗ ) = Ker(|u|j ∗ ) = Ker(j ∗ ), puisque l’image de j ∗ est contenue
dans Ker(u) ◦ = Ker(|u|) ◦ . D’après la prop. 10, d), le couple (j ∗ , j|u|j ∗ )
est la décomposition polaire de u ∗ . Cela prouve c) et l’assertion b) se
déduit alors de l’assertion a) appliquée à u ∗ .
Corollaire. — Soient E 1 et E 2 des espaces hilbertiens complexes et
soit u ∈ L (E 1 ; E 2 ). On a Im(u) = Im(|u ∗ |).
Soit (j, |u|) la décomposition polaire de u. On a |u ∗ | = j|u|j ∗ = uj ∗
d’après la proposition précédente. D’après EVT, V, p. 41, prop. 5,
l’application j ∗ est partiellement isométrique. Son espace final est
Ker(j) ◦ = Ker(u) ◦ (prop. 10, c)). L’assertion en résulte.
Proposition 12. — Soient E 1 et E 2 des espaces hilbertiens complexes
et u ∈ L (E 1 ; E 2 ). Soit (j, |u|) la décomposition polaire de u. Pour que
u soit bijectif, il faut et il suffit que |u| soit inversible dans L (E 1 ) et
que j soit un isomorphisme de E 1 sur E 2 .
La condition est suffisante. Réciproquement, si u est bijectif, alors u ∗ u est inversible dans L (E 1 ), et |u| = (u ∗ u) 1/2 l’est
également puisque son spectre est contenu dans R ∗
+ . En outre,
Ker(j) = Ker(u) = {0} et Im(j) = Im(u) = F, donc j applique
isométriquement E 1 sur E 2 .
Proposition 13. — Soient E un espace hilbertien complexe et u un
endomorphisme de E. Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) L’endomorphisme u est normal ;
(ii) Il existe un élément unitaire v de L (E), permutable à |u|, tel
que u = v|u|.
Soit (j, |u|) la décomposition polaire de u. Supposons que u est
normal. On a alors |u ∗ | = (uu ∗ ) 1/2 = (u ∗ u) 1/2 = |u|. La prop. 11
implique alors |u|j = |u ∗ |j = ju ∗ j = j|u|. De plus, j laisse stables
les sous-espaces orthogonaux supplémentaires Ker(|u|) = Ker(j) et
Im(|u|) = Im(j) (prop. 10). Soit v l’élément de L (E) qui coïncide
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DÉCOMPOSITION POLAIRE
TS I.141
EVT, V, p. 41, prop. 5 (ii)). On a donc j ∗ u = j ∗ j|u| = |u|, puis
u ∗ j = (j ∗ u) ∗ = |u| ∗ = |u|, d’où a).
Similairement, on calcule u ∗ = |u|j ∗ = (j ∗ j|u|)j ∗ = j ∗ (j|u|j ∗ ).
L’endomorphisme j|u|j ∗ de E 2 est positif. L’application linéaire j ∗ est
partiellement isométrique d’espace initial F et d’espace final I (EVT,
V, p. 41, prop. 5) et les applications linéaires de I dans F (resp.
de F dans I) déduites de j et j ∗ par passages aux sous-espaces sont
des isomorphismes réciproques l’un de l’autre (loc. cit.). On a donc
Ker(j|u|j ∗ ) = Ker(|u|j ∗ ) = Ker(j ∗ ), puisque l’image de j ∗ est contenue
dans Ker(u) ◦ = Ker(|u|) ◦ . D’après la prop. 10, d), le couple (j ∗ , j|u|j ∗ )
est la décomposition polaire de u ∗ . Cela prouve c) et l’assertion b) se
déduit alors de l’assertion a) appliquée à u ∗ .
Corollaire. — Soient E 1 et E 2 des espaces hilbertiens complexes et
soit u ∈ L (E 1 ; E 2 ). On a Im(u) = Im(|u ∗ |).
Soit (j, |u|) la décomposition polaire de u. On a |u ∗ | = j|u|j ∗ = uj ∗
d’après la proposition précédente. D’après EVT, V, p. 41, prop. 5,
l’application j ∗ est partiellement isométrique. Son espace final est
Ker(j) ◦ = Ker(u) ◦ (prop. 10, c)). L’assertion en résulte.
Proposition 12. — Soient E 1 et E 2 des espaces hilbertiens complexes
et u ∈ L (E 1 ; E 2 ). Soit (j, |u|) la décomposition polaire de u. Pour que
u soit bijectif, il faut et il suffit que |u| soit inversible dans L (E 1 ) et
que j soit un isomorphisme de E 1 sur E 2 .
La condition est suffisante. Réciproquement, si u est bijectif, alors u ∗ u est inversible dans L (E 1 ), et |u| = (u ∗ u) 1/2 l’est
également puisque son spectre est contenu dans R ∗
+ . En outre,
Ker(j) = Ker(u) = {0} et Im(j) = Im(u) = F, donc j applique
isométriquement E 1 sur E 2 .
Proposition 13. — Soient E un espace hilbertien complexe et u un
endomorphisme de E. Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) L’endomorphisme u est normal ;
(ii) Il existe un élément unitaire v de L (E), permutable à |u|, tel
que u = v|u|.
Soit (j, |u|) la décomposition polaire de u. Supposons que u est
normal. On a alors |u ∗ | = (uu ∗ ) 1/2 = (u ∗ u) 1/2 = |u|. La prop. 11
implique alors |u|j = |u ∗ |j = ju ∗ j = j|u|. De plus, j laisse stables
les sous-espaces orthogonaux supplémentaires Ker(|u|) = Ker(j) et
Im(|u|) = Im(j) (prop. 10). Soit v l’élément de L (E) qui coïncide