TS I.140
ENDOMORPHISMES DES ESPACES DE BANACH
§ 7
c) Le sous-espace initial (resp. final) de j est égal à celui de u ;
d) Soient u 1 un élément positif de L (E 1 ) et j 1 un élément partiellement isométrique de L (E 1 ; E 2 ) tels que u = j 1 u 1 et Ker(j 1 ) =
Ker(u 1 ). Alors u 1 = |u| et j 1 = j.
Pour tout x ∈ E 1 , on a
(2)
u(x)
2 = x|(u
∗ u)(x) = x||u|
2 (x) = |u|(x)
2 .
Cela démontre que Ker(u) = Ker(|u|) et |u|| = u. Comme |u| est
hermitien, l’adhérence de l’image de |u| est le supplémentaire orthogonal de son noyau (EVT, V, p. 41, prop. 4), c’est-à-dire l’espace initial
de u, d’où a).
La formule (2) implique qu’il existe une application isométrique v
de Im(|u|) sur Im(u) telle que v(|u|(x)) = u(x) pour tout x ∈ E 1 .
Soit j l’unique élément de L (E 1 ; E 2 ) qui prolonge v et s’annule dans
Im(|u|) ◦ = Ker(|u|) = Ker(u). Alors j possède les propriétés de b).
L’unicité de j découle de la décomposition E = Ker(u) ⊕ Im(|u|).
Le sous-espace initial de j est Ker(j) ◦ = Ker(u) ◦ , l’espace initial
de u. Son sous-espace final est j(Ker(u) ◦ ) = j(Im(|u|)) = Im(u), le
sous-espace final de u. Cela démontre c).
Soient maintenant u 1 et j 1 comme dans d). On a u ∗ u = u 1 j ∗
1 j 1 u 1 .
L’application j ∗
1 j 1 est l’orthoprojecteur de noyau Ker(j 1 ) = Ker(u 1 )
(EVT, V, p. 41, prop. 5 (ii)) et donc d’image Im(u 1 ). Donc u ∗ u = u 2
1
et par suite u 1 = (u ∗ u) 1/2 = |u| (I, p. 118, prop. 16). L’assertion
d’unicité de b) implique finalement que j 1 = j.
Définition 4. — Soient E 1 et E 2 des espaces hilbertiens complexes
et u ∈ L (E 1 ; E 2 ). Le couple (j, |u|), où j est l’unique application partiellement isométrique de E 1 dans E 2 telle que u = j|u| et Ker(j) =
Ker(u), est appelé la décomposition polaire de u.
Proposition 11. — Soient E 1 et E 2 des espaces hilbertiens complexes
et u ∈ L (E 1 ; E 2 ). Soit (j, |u|) la décomposition polaire de u.
a) On a |u| = j ∗ u = u ∗ j ;
b) On a |u ∗ | = ju ∗ = uj ∗ ;
c) La décomposition polaire de u ∗ est (j ∗ , |u ∗ |).
Notons I = Ker(u) ◦ et F = Im(u) le sous-espace initial et le sousespace final de u ; on a de plus I = Ker(|u|) ◦ = Im(|u|) (prop. 10,
a)). L’application j ∗ j est l’orthoprojecteur de E 1 sur I (loc. cit. et
ENDOMORPHISMES DES ESPACES DE BANACH
§ 7
c) Le sous-espace initial (resp. final) de j est égal à celui de u ;
d) Soient u 1 un élément positif de L (E 1 ) et j 1 un élément partiellement isométrique de L (E 1 ; E 2 ) tels que u = j 1 u 1 et Ker(j 1 ) =
Ker(u 1 ). Alors u 1 = |u| et j 1 = j.
Pour tout x ∈ E 1 , on a
(2)
u(x)
2 = x|(u
∗ u)(x) = x||u|
2 (x) = |u|(x)
2 .
Cela démontre que Ker(u) = Ker(|u|) et |u|| = u. Comme |u| est
hermitien, l’adhérence de l’image de |u| est le supplémentaire orthogonal de son noyau (EVT, V, p. 41, prop. 4), c’est-à-dire l’espace initial
de u, d’où a).
La formule (2) implique qu’il existe une application isométrique v
de Im(|u|) sur Im(u) telle que v(|u|(x)) = u(x) pour tout x ∈ E 1 .
Soit j l’unique élément de L (E 1 ; E 2 ) qui prolonge v et s’annule dans
Im(|u|) ◦ = Ker(|u|) = Ker(u). Alors j possède les propriétés de b).
L’unicité de j découle de la décomposition E = Ker(u) ⊕ Im(|u|).
Le sous-espace initial de j est Ker(j) ◦ = Ker(u) ◦ , l’espace initial
de u. Son sous-espace final est j(Ker(u) ◦ ) = j(Im(|u|)) = Im(u), le
sous-espace final de u. Cela démontre c).
Soient maintenant u 1 et j 1 comme dans d). On a u ∗ u = u 1 j ∗
1 j 1 u 1 .
L’application j ∗
1 j 1 est l’orthoprojecteur de noyau Ker(j 1 ) = Ker(u 1 )
(EVT, V, p. 41, prop. 5 (ii)) et donc d’image Im(u 1 ). Donc u ∗ u = u 2
1
et par suite u 1 = (u ∗ u) 1/2 = |u| (I, p. 118, prop. 16). L’assertion
d’unicité de b) implique finalement que j 1 = j.
Définition 4. — Soient E 1 et E 2 des espaces hilbertiens complexes
et u ∈ L (E 1 ; E 2 ). Le couple (j, |u|), où j est l’unique application partiellement isométrique de E 1 dans E 2 telle que u = j|u| et Ker(j) =
Ker(u), est appelé la décomposition polaire de u.
Proposition 11. — Soient E 1 et E 2 des espaces hilbertiens complexes
et u ∈ L (E 1 ; E 2 ). Soit (j, |u|) la décomposition polaire de u.
a) On a |u| = j ∗ u = u ∗ j ;
b) On a |u ∗ | = ju ∗ = uj ∗ ;
c) La décomposition polaire de u ∗ est (j ∗ , |u ∗ |).
Notons I = Ker(u) ◦ et F = Im(u) le sous-espace initial et le sousespace final de u ; on a de plus I = Ker(|u|) ◦ = Im(|u|) (prop. 10,
a)). L’application j ∗ j est l’orthoprojecteur de E 1 sur I (loc. cit. et