N
o 8
DÉCOMPOSITION POLAIRE
TS I.139
Supposons E non nul ; on a alors m(u) M(u) et l’image numérique
de u est un intervalle d’extrémités m(u) et M(u). D’après la prop. 6,
Sp(u) est contenu dans l’intervalle [m(u), M(u)]. Plus précisément :
Proposition 9. — Soit E un espace hilbertien complexe et soit u un
élément hermitien de L (E).
a) On a m(u) = inf Sp(u) et M(u) = sup Sp(u) ;
b) Si E n’est pas nul, on a u = sup(|m(u)|, |M(u)|).
Soit λ ∈ R. Pour que λ soit un minorant du spectre de u, il faut
et il suffit que u − λ 0. Cela équivaut (prop. 8, (ii)) à la condition
x|u(x) λx 2 pour tout x ∈ E, c’est-à-dire, à m(u) λ. Ceci
démontre que m(u) est la borne inférieure de Sp(u). Similairement, on
vérifie que M(u) est la borne supérieure de Sp(u).
Comme u est normal, on a (u) = u (cor. 1 de I, p. 108). Comme
E = {0}, le spectre de u n’est pas vide (cor. 1 de I, p. 26) et (u) est
le rayon du plus petit disque de centre 0 qui contient Sp(u) (th. 1 de
I, p. 24), donc b) résulte de a).
8. Décomposition polaire
Dans ce numéro, on considère des espaces hilbertiens complexes.
Soient E 1 et E 2 des espaces hilbertiens et u ∈ L (E 1 ; E 2 ). L’endomorphisme u ∗ u de E 1 est positif (prop. 8), donc on peut former
l’élément positif (u ∗ u) 1/2 de L (E 1 ).
Définition 3. — On dit que (u ∗ u) 1/2 est la valeur absolue de u, et
on la note |u|.
Dans le cas où E 1 = E 2 , cette définition coïncide avec celle donnée
dans la remarque 9 de I, p. 119.
Pour un élément u de L (E 1 ; E 2 ), rappelons (EVT, V, p. 41, déf. 2)
que le sous-espace initial de u est le sous-espace fermé Ker(u) ◦ de E 1
et le sous-espace final de u est le sous-espace fermé Im(u) de E 2 .
Proposition 10. — Soient E 1 et E 2 des espaces hilbertiens complexes
et u ∈ L (E 1 ; E 2 ).
a) Le sous-espace initial et le sous-espace final de |u| sont tous deux
égaux au sous-espace initial de u et on a |u|| = u ;
b) Il existe une unique application partiellement isométrique j de
E 1 dans E 2 telle que Ker(j) = Ker(u) et u = j|u| ;
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DÉCOMPOSITION POLAIRE
TS I.139
Supposons E non nul ; on a alors m(u) M(u) et l’image numérique
de u est un intervalle d’extrémités m(u) et M(u). D’après la prop. 6,
Sp(u) est contenu dans l’intervalle [m(u), M(u)]. Plus précisément :
Proposition 9. — Soit E un espace hilbertien complexe et soit u un
élément hermitien de L (E).
a) On a m(u) = inf Sp(u) et M(u) = sup Sp(u) ;
b) Si E n’est pas nul, on a u = sup(|m(u)|, |M(u)|).
Soit λ ∈ R. Pour que λ soit un minorant du spectre de u, il faut
et il suffit que u − λ 0. Cela équivaut (prop. 8, (ii)) à la condition
x|u(x) λx 2 pour tout x ∈ E, c’est-à-dire, à m(u) λ. Ceci
démontre que m(u) est la borne inférieure de Sp(u). Similairement, on
vérifie que M(u) est la borne supérieure de Sp(u).
Comme u est normal, on a (u) = u (cor. 1 de I, p. 108). Comme
E = {0}, le spectre de u n’est pas vide (cor. 1 de I, p. 26) et (u) est
le rayon du plus petit disque de centre 0 qui contient Sp(u) (th. 1 de
I, p. 24), donc b) résulte de a).
8. Décomposition polaire
Dans ce numéro, on considère des espaces hilbertiens complexes.
Soient E 1 et E 2 des espaces hilbertiens et u ∈ L (E 1 ; E 2 ). L’endomorphisme u ∗ u de E 1 est positif (prop. 8), donc on peut former
l’élément positif (u ∗ u) 1/2 de L (E 1 ).
Définition 3. — On dit que (u ∗ u) 1/2 est la valeur absolue de u, et
on la note |u|.
Dans le cas où E 1 = E 2 , cette définition coïncide avec celle donnée
dans la remarque 9 de I, p. 119.
Pour un élément u de L (E 1 ; E 2 ), rappelons (EVT, V, p. 41, déf. 2)
que le sous-espace initial de u est le sous-espace fermé Ker(u) ◦ de E 1
et le sous-espace final de u est le sous-espace fermé Im(u) de E 2 .
Proposition 10. — Soient E 1 et E 2 des espaces hilbertiens complexes
et u ∈ L (E 1 ; E 2 ).
a) Le sous-espace initial et le sous-espace final de |u| sont tous deux
égaux au sous-espace initial de u et on a |u|| = u ;
b) Il existe une unique application partiellement isométrique j de
E 1 dans E 2 telle que Ker(j) = Ker(u) et u = j|u| ;