TS I.138
ENDOMORPHISMES DES ESPACES DE BANACH
§ 7
7. Éléments positifs
Soit E un espace hilbertien complexe. Soit u un endomorphisme
de E. Rappelons (EVT, V, p. 45, déf. 6) que u est dit positif si l’on a
x|u(x) 0 pour tout x ∈ E. L’endomorphisme u est alors hermitien
(loc. cit.). De plus, si F est un espace hilbertien complexe et si v ∈
L (F; E), alors l’endomorphisme v ∗ uv de F est positif (EVT, V, p. 45,
prop. 12).
Proposition 8. — Soit E un espace hilbertien complexe. Soit u un
endomorphisme de E. Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) L’endomorphisme u est positif ;
(ii) L’image numérique de u est contenue dans R + ;
(iii) L’endomorphisme u est un élément positif de l’algèbre stellaire L (E) ;
(iv) Il existe un élément hermitien v de L (E) tel que u = v 2 ;
(v) Il existe une application linéaire continue v de E dans un espace hilbertien complexe F telle que u = v ∗ v.
D’après EVT, V, p. 45, déf. 6, u est positif si et seulement s’il est
hermitien et si x|u(x) 0 pour tout x ∈ E. L’implication (i) =⇒ (ii)
résulte donc de la définition de l’image numérique.
(ii) =⇒ (iii) : l’hypothèse implique que u est hermitien (EVT, V,
p. 45, et remarque, p. 2) et son spectre est contenu dans R + (prop. 6) ;
par suite, u est un élément positif de l’algèbre stellaire L (E).
(iii) =⇒ (iv) : c’est un cas particulier de la prop. 16 de I, p. 118.
(iv) =⇒ (v) est immédiat.
(v) =⇒ (i) : soit F un espace hilbertien complexe et soit v ∈ L (E; F)
tel que u = v ∗ v. Soit x ∈ E. On a x|u(x) = x|(v ∗ v)(x) = v(x) 2 ,
ce qui prouve que u est positif.
Rappelons (EVT, V, p. 45, remarque 1) que, pour tout élément
hermitien u de L (E), on pose
m(u) = inf
x∈E
x=1
x|u(x) = inf ι(u) = inf
x∈E {0}
x|u(x)
x 2 ,
M(u) = sup
x∈E
x=1
x|u(x) = sup ι(u) = sup
x∈E {0}
x|u(x)
x 2 .
Si E = {0}, on a M(u) = −∞, m(u) = +∞ et ι(u) = ∅.