N
o 6
IMAGE NUMÉRIQUE
TS I.137
Soit F le sous-espace affine réel de L (E) h formé des éléments
de trace 1. Les orthoprojecteurs de rang 1 de E appartiennent à F
(lemme 3, (ii)).
Soit u ∈ F. On a u −
1
2 1 E 2 = Tr(u 2 − u +
1
4 ) = Tr(u 2 ) −
1
2 . Par
conséquent, u ∈ S si et seulement si Tr(u 2 ) = 1. Puisque 2 det(u) =
Tr(u) 2 − Tr(u 2 ) = 1 − Tr(u 2 ), cette condition équivaut à det(u) = 0.
D’après le théorème de Hamilton–Cayley (A, III, p. 107, prop. 20), on
a donc u ∈ S si et seulement si u 2 − u = 0, ce qui signifie que u est un
projecteur hermitien de rang 1 (loc. cit.), d’où le résultat.
Lemme 6. — Soit E un espace vectoriel normé réel, soit F un espace
vectoriel réel et soit u : E → F une application affine non injective.
Soient B une boule de E et S la sphère correspondante. On a u(S) =
u(B), et en particulier, u(S) est convexe.
On se ramène au cas où u est linéaire et où B est la boule unité de E.
On a u(S) ⊂ u(B). Inversement, soit x ∈ B et soit y un élément non
nul de Ker(u). L’image de l’application continue t → →x + ty de R
dans R + est un intervalle non borné contenant le nombre réel x 1.
Il existe donc t ∈ R tel que x + ty = 1. On a alors x + ty ∈ S et
u(x + ty) = u(x), donc u(x) ∈ u(S).
Démontrons la prop. 7. Soient x et y des éléments de la sphère unité
de E ; démontrons que le segment d’extrémités x|u(x) et y|u(y) est
contenu dans l’image numérique de u.
Soit F le sous-espace de E engendré par x et y. Si dim(F) = 1, on a
x|u(x) = y|u(y), d’où l’assertion. Sinon, on a dim(F) = 2 ; soit alors
p l’orthoprojecteur de E d’image F et notons u F l’endomorphisme de F
donné par x → p(u(x)). Puisque p est hermitien (lemme 3 de I, p. 133),
on a z|u F (z) = z|u(z) pour tout z ∈ F, de sorte que ι(u F ) ⊂ ι(u).
On peut donc supposer que E = F.
Pour tout élément z de E, soit v z l’endomorphisme hermitien de E
défini par t → →z|tz ; on a z|u(z) = Tr(u ◦ v z ). Lorsque z parcourt la
sphère unité de E, v z décrit l’ensemble des orthoprojecteurs de rang 1
de E, qui est une sphère S dans le sous-espace affine réel V de L (E)
formé des endomorphismes hermitiens de E de trace 1 (lemme 5).
L’image numérique de E est donc l’ensemble des Tr(u ◦ v), pour
v ∈ S. L’application v → Tr(u ◦ v) de V dans C est linéaire. Comme
dim R (V) = 3 > dim R (C), elle n’est pas injective ; il résulte alors du
lemme 6 que ι(u) est convexe.
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TS I.137
Soit F le sous-espace affine réel de L (E) h formé des éléments
de trace 1. Les orthoprojecteurs de rang 1 de E appartiennent à F
(lemme 3, (ii)).
Soit u ∈ F. On a u −
1
2 1 E 2 = Tr(u 2 − u +
1
4 ) = Tr(u 2 ) −
1
2 . Par
conséquent, u ∈ S si et seulement si Tr(u 2 ) = 1. Puisque 2 det(u) =
Tr(u) 2 − Tr(u 2 ) = 1 − Tr(u 2 ), cette condition équivaut à det(u) = 0.
D’après le théorème de Hamilton–Cayley (A, III, p. 107, prop. 20), on
a donc u ∈ S si et seulement si u 2 − u = 0, ce qui signifie que u est un
projecteur hermitien de rang 1 (loc. cit.), d’où le résultat.
Lemme 6. — Soit E un espace vectoriel normé réel, soit F un espace
vectoriel réel et soit u : E → F une application affine non injective.
Soient B une boule de E et S la sphère correspondante. On a u(S) =
u(B), et en particulier, u(S) est convexe.
On se ramène au cas où u est linéaire et où B est la boule unité de E.
On a u(S) ⊂ u(B). Inversement, soit x ∈ B et soit y un élément non
nul de Ker(u). L’image de l’application continue t → →x + ty de R
dans R + est un intervalle non borné contenant le nombre réel x 1.
Il existe donc t ∈ R tel que x + ty = 1. On a alors x + ty ∈ S et
u(x + ty) = u(x), donc u(x) ∈ u(S).
Démontrons la prop. 7. Soient x et y des éléments de la sphère unité
de E ; démontrons que le segment d’extrémités x|u(x) et y|u(y) est
contenu dans l’image numérique de u.
Soit F le sous-espace de E engendré par x et y. Si dim(F) = 1, on a
x|u(x) = y|u(y), d’où l’assertion. Sinon, on a dim(F) = 2 ; soit alors
p l’orthoprojecteur de E d’image F et notons u F l’endomorphisme de F
donné par x → p(u(x)). Puisque p est hermitien (lemme 3 de I, p. 133),
on a z|u F (z) = z|u(z) pour tout z ∈ F, de sorte que ι(u F ) ⊂ ι(u).
On peut donc supposer que E = F.
Pour tout élément z de E, soit v z l’endomorphisme hermitien de E
défini par t → →z|tz ; on a z|u(z) = Tr(u ◦ v z ). Lorsque z parcourt la
sphère unité de E, v z décrit l’ensemble des orthoprojecteurs de rang 1
de E, qui est une sphère S dans le sous-espace affine réel V de L (E)
formé des endomorphismes hermitiens de E de trace 1 (lemme 5).
L’image numérique de E est donc l’ensemble des Tr(u ◦ v), pour
v ∈ S. L’application v → Tr(u ◦ v) de V dans C est linéaire. Comme
dim R (V) = 3 > dim R (C), elle n’est pas injective ; il résulte alors du
lemme 6 que ι(u) est convexe.