TS I.136
ENDOMORPHISMES DES ESPACES DE BANACH
§ 7
L’image numérique de u ∗ est l’image de ι(u) par la conjugaison
complexe. Pour tous nombres complexes λ et µ, l’image numérique de
λu + µ1 E est égale à λι(u) + µ.
Proposition 6. — Soit E un espace hilbertien complexe et soit u un
endomorphisme de E.
a) L’ensemble des valeurs propres de u est contenu dans ι(u) ;
b) Le spectre de u est contenu dans l’adhérence de ι(u) dans C.
Soit λ une valeur propre de u et soit x ∈ E un vecteur non nul tel
que u(x) = λx. Quitte à remplacer x par x/x, on peut supposer que
x = 1. Alors, x|u(x) = λ, donc λ ∈ ι(u).
Démontrons b). En considérant u − λ1 E , on se ramène à démontrer
que si 0 appartient au spectre de u, alors 0 est adhérent à ι(u).
Supposons d’abord qu’il existe un nombre réel c > 0 tel que
u(x) c pour tout x de norme 1 dans E. L’endomorphisme u
est alors injectif et fermé (lemme 8 de I, p. 107). Comme il n’est
pas inversible par hypothèse, il n’est pas surjectif. Par conséquent,
l’orthogonal du noyau de u ∗ n’est pas égal à E (EVT, V, p. 41,
prop. 4), ce qui démontre que le noyau de u ∗ n’est pas réduit à 0.
Ainsi 0 appartient à ι(u ∗ ), donc à ι(u).
Si l’hypothèse précédente n’est pas valide, alors pour tout entier
n 1, il existe un vecteur x n de norme 1 dans E tel que u(x n ) 1/n.
On a alors ||x n |u(x n )| 1/n, ce qui implique que 0 appartient à
l’adhérence de ι(u).
Proposition 7 (Théorème de Hausdorff–Toeplitz)
Soit E un espace hilbertien complexe et soit u ∈ L (E). L’image
numérique ι(u) est une partie convexe de C.
Nous aurons besoin de deux lemmes pour démontrer cette proposition.
Lemme 5. — Soit E un espace hilbertien complexe de dimension 2.
Munissons l’espace vectoriel réel L (E) h des endomorphismes hermitiens de E de la norme préhilbertienne u → Tr(u ∗ u) 1/2 . L’ensemble des
orthoprojecteurs de rang 1 de E est la sphère S de rayon 1/
√
2 centrée
en
1
2 1 E dans le sous-espace affine de dimension 3 des endomorphismes
de trace 1 dans L (E) h .
ENDOMORPHISMES DES ESPACES DE BANACH
§ 7
L’image numérique de u ∗ est l’image de ι(u) par la conjugaison
complexe. Pour tous nombres complexes λ et µ, l’image numérique de
λu + µ1 E est égale à λι(u) + µ.
Proposition 6. — Soit E un espace hilbertien complexe et soit u un
endomorphisme de E.
a) L’ensemble des valeurs propres de u est contenu dans ι(u) ;
b) Le spectre de u est contenu dans l’adhérence de ι(u) dans C.
Soit λ une valeur propre de u et soit x ∈ E un vecteur non nul tel
que u(x) = λx. Quitte à remplacer x par x/x, on peut supposer que
x = 1. Alors, x|u(x) = λ, donc λ ∈ ι(u).
Démontrons b). En considérant u − λ1 E , on se ramène à démontrer
que si 0 appartient au spectre de u, alors 0 est adhérent à ι(u).
Supposons d’abord qu’il existe un nombre réel c > 0 tel que
u(x) c pour tout x de norme 1 dans E. L’endomorphisme u
est alors injectif et fermé (lemme 8 de I, p. 107). Comme il n’est
pas inversible par hypothèse, il n’est pas surjectif. Par conséquent,
l’orthogonal du noyau de u ∗ n’est pas égal à E (EVT, V, p. 41,
prop. 4), ce qui démontre que le noyau de u ∗ n’est pas réduit à 0.
Ainsi 0 appartient à ι(u ∗ ), donc à ι(u).
Si l’hypothèse précédente n’est pas valide, alors pour tout entier
n 1, il existe un vecteur x n de norme 1 dans E tel que u(x n ) 1/n.
On a alors ||x n |u(x n )| 1/n, ce qui implique que 0 appartient à
l’adhérence de ι(u).
Proposition 7 (Théorème de Hausdorff–Toeplitz)
Soit E un espace hilbertien complexe et soit u ∈ L (E). L’image
numérique ι(u) est une partie convexe de C.
Nous aurons besoin de deux lemmes pour démontrer cette proposition.
Lemme 5. — Soit E un espace hilbertien complexe de dimension 2.
Munissons l’espace vectoriel réel L (E) h des endomorphismes hermitiens de E de la norme préhilbertienne u → Tr(u ∗ u) 1/2 . L’ensemble des
orthoprojecteurs de rang 1 de E est la sphère S de rayon 1/
√
2 centrée
en
1
2 1 E dans le sous-espace affine de dimension 3 des endomorphismes
de trace 1 dans L (E) h .