N
o 6
IMAGE NUMÉRIQUE
TS I.135
c) Si λ ∈ C est un point isolé du spectre de u, alors λ est une
valeur propre de u et l’image du projecteur spectral e λ (u) est l’espace
propre de u relatif à λ.
Démontrons a). Comme le calcul fonctionnel holomorphe est compatible avec le calcul fonctionnel continu (I, p. 111, cor. 1), on a
e H (u) = ϕ H (u), où ϕ H ∈ C (Sp(u)) est la fonction caractéristique de H.
Cela implique e H (u) ∗ = ϕ H (u) = ϕ H (u) = e H (u), donc e H (u) est un
orthoprojecteur (lemme 3, (ii)). Son noyau est l’image du projecteur
1 − e H (u) = e Sp(u) H (u).
Démontrons b). Les fonctions caractéristiques ϕ H 1 et ϕ H 2 de H 1
et H 2 dans Sp(u) sont continues et leur produit est nul, ce qui implique
e H 1 (u)◦e H 2 (u) = e H 2 (u)◦e H 1 (u) = 0. Les inclusions E H 2 (u) ⊂ E H 1 (u) ◦
et E H 1 (u) ⊂ E H 2 (u) ◦ en résultent.
Démontrons enfin l’assertion c). La fonction caractéristique ϕ λ de
{λ} est continue et non nulle sur Sp(u) ; elle vérifie (z − λ)ϕ λ (z) = 0
pour tout z ∈ Sp(u). On a donc (u−λ1 E )ϕ λ (u) = 0. L’image de ϕ λ (u),
qui est non nulle, est donc contenue dans le sous-espace propre de u
relatif à λ. Comme on a e λ (u) = ϕ λ (u) et que l’image de e λ (u) contient
le sous-espace propre de u relatif à λ, l’assertion en résulte.
Lemme 4. — Soit E un espace hilbertien et soit u un endomorphisme
normal de E. Soit F un sous-espace fermé de E contenant un ensemble
total de vecteurs propres de u. Alors F ◦ est stable par u et l’endomorphisme
u de F ◦ déduit de u est normal.
Puisque u est normal, tout vecteur propre de u est également vecteur
propre de u ∗ (EVT, V, p. 43, cor.). L’hypothèse implique donc que F
est stable par u et par u ∗ . D’après EVT, V, p. 41, prop. 4 (ii), on
a donc u(F ◦ ) ⊂ F ◦ et u ∗ (F ◦ ) ⊂ F ◦ . Il en découle que l’adjoint de
u est l’endomorphisme de F ◦ déduit de u ∗ . Puisque u est normal,
l’endomorphisme
u est normal.
6. Image numérique
Définition 2. — Soit E un espace hilbertien complexe et soit u un
endomorphisme de E. On appelle image numérique de u l’ensemble
des nombres complexes de la forme x|u(x), où x parcourt la sphère
unité de E. On note ι(u) l’image numérique de u.
o 6
IMAGE NUMÉRIQUE
TS I.135
c) Si λ ∈ C est un point isolé du spectre de u, alors λ est une
valeur propre de u et l’image du projecteur spectral e λ (u) est l’espace
propre de u relatif à λ.
Démontrons a). Comme le calcul fonctionnel holomorphe est compatible avec le calcul fonctionnel continu (I, p. 111, cor. 1), on a
e H (u) = ϕ H (u), où ϕ H ∈ C (Sp(u)) est la fonction caractéristique de H.
Cela implique e H (u) ∗ = ϕ H (u) = ϕ H (u) = e H (u), donc e H (u) est un
orthoprojecteur (lemme 3, (ii)). Son noyau est l’image du projecteur
1 − e H (u) = e Sp(u) H (u).
Démontrons b). Les fonctions caractéristiques ϕ H 1 et ϕ H 2 de H 1
et H 2 dans Sp(u) sont continues et leur produit est nul, ce qui implique
e H 1 (u)◦e H 2 (u) = e H 2 (u)◦e H 1 (u) = 0. Les inclusions E H 2 (u) ⊂ E H 1 (u) ◦
et E H 1 (u) ⊂ E H 2 (u) ◦ en résultent.
Démontrons enfin l’assertion c). La fonction caractéristique ϕ λ de
{λ} est continue et non nulle sur Sp(u) ; elle vérifie (z − λ)ϕ λ (z) = 0
pour tout z ∈ Sp(u). On a donc (u−λ1 E )ϕ λ (u) = 0. L’image de ϕ λ (u),
qui est non nulle, est donc contenue dans le sous-espace propre de u
relatif à λ. Comme on a e λ (u) = ϕ λ (u) et que l’image de e λ (u) contient
le sous-espace propre de u relatif à λ, l’assertion en résulte.
Lemme 4. — Soit E un espace hilbertien et soit u un endomorphisme
normal de E. Soit F un sous-espace fermé de E contenant un ensemble
total de vecteurs propres de u. Alors F ◦ est stable par u et l’endomorphisme
u de F ◦ déduit de u est normal.
Puisque u est normal, tout vecteur propre de u est également vecteur
propre de u ∗ (EVT, V, p. 43, cor.). L’hypothèse implique donc que F
est stable par u et par u ∗ . D’après EVT, V, p. 41, prop. 4 (ii), on
a donc u(F ◦ ) ⊂ F ◦ et u ∗ (F ◦ ) ⊂ F ◦ . Il en découle que l’adjoint de
u est l’endomorphisme de F ◦ déduit de u ∗ . Puisque u est normal,
l’endomorphisme
u est normal.
6. Image numérique
Définition 2. — Soit E un espace hilbertien complexe et soit u un
endomorphisme de E. On appelle image numérique de u l’ensemble
des nombres complexes de la forme x|u(x), où x parcourt la sphère
unité de E. On note ι(u) l’image numérique de u.