Contents
xiii
13.2 Properties of Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
13.2.1 Vanishing of Forms with Trivial Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
13.2.2 BRST Identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
13.3 Properties of Amplitudes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
13.3.1 Restriction to ˆ
P g,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
13.3.2 Consequences of the BRST Identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
13.4 Suggested Readings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
14 Amplitude Factorization and Feynman Diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
14.1 Amplitude Factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
14.1.1 Separating Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
14.1.2 Non-separating Case. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
14.2 Feynman Diagrams and Feynman Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
14.2.1 Feynman Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
14.2.2 Propagator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
14.2.3 Fundamental Vertices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
14.2.4 Stubs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
14.2.5 1PI Vertices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
14.3 Properties of Fundamental Vertices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
14.3.1 String Product. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
14.3.2 Feynman Graph Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
14.4 Suggested Readings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
15 Closed String Field Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
15.1 Closed String Field Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
15.2 Gauge Fixed Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
15.2.1 Kinetic Term and Propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
15.2.2 Interactions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
15.2.3 Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
15.3 Classical Gauge Invariant Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
15.4 BV Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
15.5 1PI Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
15.6 Suggested Readings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
16 Background Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
16.1 The Concept of Background Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
16.2 Problem Setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
16.3 Deformation of the CFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
16.4 Expansion of the Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
16.5 Relating the Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
16.6 Idea of the Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
16.7 Suggested Readings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
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13.2 Properties of Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
13.2.1 Vanishing of Forms with Trivial Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
13.2.2 BRST Identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
13.3 Properties of Amplitudes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
13.3.1 Restriction to ˆ
P g,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
13.3.2 Consequences of the BRST Identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
13.4 Suggested Readings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
14 Amplitude Factorization and Feynman Diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
14.1 Amplitude Factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
14.1.1 Separating Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
14.1.2 Non-separating Case. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
14.2 Feynman Diagrams and Feynman Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
14.2.1 Feynman Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
14.2.2 Propagator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
14.2.3 Fundamental Vertices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
14.2.4 Stubs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
14.2.5 1PI Vertices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
14.3 Properties of Fundamental Vertices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
14.3.1 String Product. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
14.3.2 Feynman Graph Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
14.4 Suggested Readings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
15 Closed String Field Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
15.1 Closed String Field Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
15.2 Gauge Fixed Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
15.2.1 Kinetic Term and Propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
15.2.2 Interactions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
15.2.3 Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
15.3 Classical Gauge Invariant Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
15.4 BV Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
15.5 1PI Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
15.6 Suggested Readings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
16 Background Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
16.1 The Concept of Background Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
16.2 Problem Setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
16.3 Deformation of the CFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
16.4 Expansion of the Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
16.5 Relating the Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
16.6 Idea of the Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
16.7 Suggested Readings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336