xiv
Contents
17 Superstring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
17.1 Worldsheet Superstring Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
17.1.1 Heterotic Worldsheet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
17.1.2 Hilbert Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
17.2 Off-Shell Superstring Amplitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
17.2.1 Amplitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
17.2.2 Factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
17.2.3 Spurious Poles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
17.3 Superstring Field Theory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
17.3.1 String Field and Propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
17.3.2 Constraint Approach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
17.3.3 Auxiliary Field Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
17.3.4 Large Hilbert Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
17.4 Suggested Readings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
18 Momentum-Space SFT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
18.1 General Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
18.2 Generalized Wick Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
18.3 Suggested Readings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
A Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
A.1 Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
A.2 Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
A.3 QFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
A.4 Curved Space and Gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
A.5 List of Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
B Summary of Important Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
B.1 Complex Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
B.2 QFT, Curved Spaces and Gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
B.2.1 Two Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
B.3 Conformal Field Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
B.3.1 Complex Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
B.3.2 General Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
B.3.3 Hermitian and BPZ Conjugations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
B.3.4 Scalar Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
B.3.5 Reparametrization Ghosts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
B.4 Bosonic String . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
C Quantum Field Theory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
C.1 Path Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
C.1.1 Integration Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
C.1.2 Field Redefinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
C.1.3 Zero-Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
Contents
17 Superstring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
17.1 Worldsheet Superstring Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
17.1.1 Heterotic Worldsheet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
17.1.2 Hilbert Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
17.2 Off-Shell Superstring Amplitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
17.2.1 Amplitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
17.2.2 Factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
17.2.3 Spurious Poles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
17.3 Superstring Field Theory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
17.3.1 String Field and Propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
17.3.2 Constraint Approach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
17.3.3 Auxiliary Field Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
17.3.4 Large Hilbert Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
17.4 Suggested Readings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
18 Momentum-Space SFT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
18.1 General Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
18.2 Generalized Wick Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
18.3 Suggested Readings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
A Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
A.1 Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
A.2 Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
A.3 QFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
A.4 Curved Space and Gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
A.5 List of Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
B Summary of Important Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
B.1 Complex Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
B.2 QFT, Curved Spaces and Gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
B.2.1 Two Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
B.3 Conformal Field Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
B.3.1 Complex Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
B.3.2 General Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
B.3.3 Hermitian and BPZ Conjugations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
B.3.4 Scalar Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
B.3.5 Reparametrization Ghosts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
B.4 Bosonic String . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
C Quantum Field Theory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
C.1 Path Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
C.1.1 Integration Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
C.1.2 Field Redefinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
C.1.3 Zero-Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396