xii
Contents
10 Free BRST String Field Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
10.1 Classical Action for the Open String . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
10.1.1 Warm-Up: Point-Particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
10.1.2 Open String Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
10.1.3 Gauge Invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
10.1.4 Siegel Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
10.2 Open String Field Expansion, Parity and Ghost Number . . . . . . . . . . 219
10.3 Path Integral Quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
10.3.1 Tentative Faddeev–Popov Gauge Fixing . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
10.3.2 Tower of Ghosts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
10.4 Spacetime Action. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
10.5 Closed String . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
10.6 Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
10.7 Suggested Readings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
11 Introduction to Off-Shell String Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
11.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
11.1.1 3-Point Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
11.1.2 4-Point Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
11.2 Off-Shell States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
11.3 Off-Shell Amplitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
11.3.1 Amplitudes from the Marked Moduli Space . . . . . . . . . . . . . . 245
11.3.2 Local Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
11.4 Suggested Readings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
12 Geometry of Moduli Spaces and Riemann Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
12.1 Parametrization of P g,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
12.2 Tangent Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
12.3 Plumbing Fixture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
12.3.1 Separating Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
12.3.2 Non-separating Case. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
12.3.3 Decomposition of Moduli Spaces and Degeneration
Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
12.3.4 Stubs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
12.4 Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
12.5 Suggested Readings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
13 Off-Shell Amplitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
13.1 Cotangent Spaces and Amplitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
13.1.1 Construction of Forms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
13.1.2 Amplitudes and Surface States. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
Contents
10 Free BRST String Field Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
10.1 Classical Action for the Open String . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
10.1.1 Warm-Up: Point-Particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
10.1.2 Open String Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
10.1.3 Gauge Invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
10.1.4 Siegel Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
10.2 Open String Field Expansion, Parity and Ghost Number . . . . . . . . . . 219
10.3 Path Integral Quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
10.3.1 Tentative Faddeev–Popov Gauge Fixing . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
10.3.2 Tower of Ghosts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
10.4 Spacetime Action. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
10.5 Closed String . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
10.6 Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
10.7 Suggested Readings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
11 Introduction to Off-Shell String Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
11.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
11.1.1 3-Point Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
11.1.2 4-Point Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
11.2 Off-Shell States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
11.3 Off-Shell Amplitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
11.3.1 Amplitudes from the Marked Moduli Space . . . . . . . . . . . . . . 245
11.3.2 Local Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
11.4 Suggested Readings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
12 Geometry of Moduli Spaces and Riemann Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
12.1 Parametrization of P g,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
12.2 Tangent Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
12.3 Plumbing Fixture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
12.3.1 Separating Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
12.3.2 Non-separating Case. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
12.3.3 Decomposition of Moduli Spaces and Degeneration
Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
12.3.4 Stubs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
12.4 Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
12.5 Suggested Readings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
13 Off-Shell Amplitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
13.1 Cotangent Spaces and Amplitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
13.1.1 Construction of Forms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
13.1.2 Amplitudes and Surface States. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272