Contents
xi
7
CFT Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.1
Free Scalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.1.1
Covariant Action. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.1.2
Action on the Complex Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.1.3
OPE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.1.4
Mode Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.1.5
Commutators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7.1.6
Hilbert Space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.1.7
Euclidean and BPZ Conjugates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.2
First-Order bc Ghost System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.2.1
Covariant Action. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.2.2
Action on the Complex Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.2.3
OPE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.2.4
Mode Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.2.5
Commutators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.2.6
Hilbert Space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7.2.7
Euclidean and BPZ Conjugates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.2.8
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.3
Suggested Readings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
8
BRST Quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.1
BRST for Reparametrization Invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.2
BRST in the CFT Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
8.2.1
OPE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.2.2
Mode Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
8.2.3
Commutators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.3
BRST Cohomology: Two Flat Directions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
8.3.1
Conditions on the States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
8.3.2
Relative Cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.3.3
Absolute Cohomology, States and No-Ghost Theorem . . . 198
8.3.4
Cohomology for Holomorphic and
Anti-holomorphic Sectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.4
Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.5
Suggested Readings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Part II String Field Theory
9
String Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
9.1
Field Functional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
9.2
Field Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
9.3
Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
9.4
Suggested Readings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209