x
Contents
3
Worldsheet Path Integral: Scattering Amplitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1
Scattering Amplitudes on Moduli Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.1
Vertex Operators and Path Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.2
Gauge Fixing: General Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1.3
Gauge Fixing: 2-Point Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2
BRST Quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2.1
BRST Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2.2
BRST Cohomology and Physical States. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.3
Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.4
Suggested Readings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4
Worldsheet Path Integral: Complex Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.1
Geometry of Complex Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.2
Complex Representation of Path Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3
Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4
Suggested Readings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5
Conformal Symmetry in D Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.1
CFT on a General Manifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2
CFT on Minkowski Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.3
Suggested Readings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6
Conformal Field Theory on the Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.1
The Riemann Sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.1.1
Map to the Complex Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.1.2
Relation to the Cylinder: String Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.2
Classical CFTs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.2.1
Witt Conformal Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.2.2
PSL(2, C) Conformal Group. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.2.3
Definition of a CFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.3
Quantum CFTs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.3.1
Virasoro Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.3.2
Correlation Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.4
Operator Formalism and Radial Quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.4.1
Radial Ordering and Commutators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.4.2
Operator Product Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.4.3
Hermitian and BPZ Conjugation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.4.4
Mode Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.4.5
Hilbert Space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.4.6
CFT on the Cylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.5
Suggested Readings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139