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C Rappels mathématiques : probabilités
C.9.1 Lois de Dirichlet
Cette section rassemble quelques propriétés des lois de Dirichlet. Soit d ≥ 2 un
entier. Soit le simplexe de dimension d − 1 :
=
(x 1 , . . . x d ) ∈ [0, 1]
d ,
d
k=1
x k = 1
.
La formule suivante est une généralisation de la définition de la fonction Beta
d’Euler : soient (ν 1 , . . . , ν d ) des réels positifs. Alors,
d
k=1
x
ν k −1
k
dd (x 1 , . . . , x d ) =
(ν 1 ) . . . .(ν d )
(ν 1 + · · · + ν d )
(C.1)
où dd désigne la mesure sur le simplexe définie par
f (x 1 , . . . , x d ) dd (x 1 , . . . , x d )
= f
x 1 , . . . , x d−1 , 1 −
d−1
k=1 x k
1
x∈[0,1] d−1 ,
d−1
k=1 x k ≤1
dx 1 . . . dx d−1
pour toute fonction continue f définie sur
Cette formule permet de définir la loi de Dirichlet de paramètres (ν 1 , . . . , ν d ),
notée Dirichlet (ν 1 , . . . , ν d ), dont la densité sur le simplexe est donnée par
(ν 1 + · · · + ν d )
(ν 1 ) . . . .(ν d )
d
k=1
x
ν k −1
k
dd (x 1 , . . . , x d ) .
En particulier, si D = (D 1 , . . . , D d ) est un vecteur aléatoire de dimension d, de loi
de Dirichlet de paramètres (ν 1 , . . . , ν d ), alors pour tout p = (p 1 , . . . , p d ) ∈ N d , le
moment (joint) d’ordre p de D est
E
D
p
= E
D
p 1
1 . . . D
p d
d
=
(ν)
(ν + |p|)
d
k=1
(ν k + p k )
(ν k )
où ν =
d
k=1 ν k et |p| =
d
k=1 p k .
Un calcul du même genre montre que chaque variable aléatoire D k , qui est la
k-ième coordonnée de D, suit une loi Beta (ν k , ν − ν k ), i.e., a pour densité
1
B (ν k , ν − ν k )
t
ν k −1 (1 − t)
ν−ν k −1
1 [0,1] dt.