C Rappels mathématiques : probabilités
481
Ce théorème admet de nombreux sous-produits, comme
– Toute sous-martingale (X n ), bornée dans L 1 , converge p.s. vers une variable
aléatoire X ∞ et X ∞ ∈ L 1 .
– Toute martingale (X n ), bornée dans L 1 , converge p.s. vers une variable aléatoire
X ∞ et X ∞ ∈ L 1 .
L’un de ces corollaires est particulièrement simple et efficace.
Corollaire C.26 Toute surmartingale positive (X n ) converge p.s. vers une variable
aléatoire X ∞ , X ∞ ∈ L 1 et E(X ∞ ) ≤ lim inf E(X n ) (par le lemme de Fatou).
Attention : les hypothèses « (X n ) bornée dans L 1 » et « (X n ) converge p.s. vers une
limite X ∞ ∈ L 1 » ne suffisent pas à assurer que X n converge dans L 1 .
Théorème C.27 (Convergence L 1 des martingales)
Soit (X n ) une martingale. Les trois assertions suivantes sont équivalentes :
(i) (X n ) converge dans L 1 (vers une variable aléatoire X ∞ ∈ L 1 ).
(ii) (X n ) est bornée dans L 1 et E(X ∞ | F n ) = X n .
(iii) (X n ) est uniformément intégrable.
Une martingale vérifiant l’une de ces propriétés est dire régulière. Pour une
martingale régulière, E(X ∞ ) = E(X 0 ).
Il arrive qu’il n’y ait pas convergence dans L 2 et que la convergence L 1 soit
suspectée mais difficile à obtenir via le théorème précédent (c’est le cas pour les
martingales liées aux processus de branchement et aux arbres binaires de recherche
par exemple). Une convergence L p pour p ∈]1, 2[ pourra alors être utile (outre son
intérêt propre).
Corollaire C.28 (Convergence L p , p > 1 des martingales)
Toute martingale (X n ) bornée dans L p pour p > 1 converge dans L p (et aussi
en probabilité et p.s. par le théorème de Doob).
C.9 L’urne de Pólya originelle
Nous reprenons dans cette section des résultats qui appartiennent au « folklore ».
La proposition C.30 se trouve dans l’article d’Athreya [11] de 1969 avec des
appellations différentes et une preuve différente. Elle est aussi faite partiellement
dans Blackwell et Kendall [29] pour une balance S = 1 et en partant d’une boule de
chaque couleur. La méthode des moments pour une urne de Pólya est évoquée dans
le livre de Johnson et Kotz [151].
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Ce théorème admet de nombreux sous-produits, comme
– Toute sous-martingale (X n ), bornée dans L 1 , converge p.s. vers une variable
aléatoire X ∞ et X ∞ ∈ L 1 .
– Toute martingale (X n ), bornée dans L 1 , converge p.s. vers une variable aléatoire
X ∞ et X ∞ ∈ L 1 .
L’un de ces corollaires est particulièrement simple et efficace.
Corollaire C.26 Toute surmartingale positive (X n ) converge p.s. vers une variable
aléatoire X ∞ , X ∞ ∈ L 1 et E(X ∞ ) ≤ lim inf E(X n ) (par le lemme de Fatou).
Attention : les hypothèses « (X n ) bornée dans L 1 » et « (X n ) converge p.s. vers une
limite X ∞ ∈ L 1 » ne suffisent pas à assurer que X n converge dans L 1 .
Théorème C.27 (Convergence L 1 des martingales)
Soit (X n ) une martingale. Les trois assertions suivantes sont équivalentes :
(i) (X n ) converge dans L 1 (vers une variable aléatoire X ∞ ∈ L 1 ).
(ii) (X n ) est bornée dans L 1 et E(X ∞ | F n ) = X n .
(iii) (X n ) est uniformément intégrable.
Une martingale vérifiant l’une de ces propriétés est dire régulière. Pour une
martingale régulière, E(X ∞ ) = E(X 0 ).
Il arrive qu’il n’y ait pas convergence dans L 2 et que la convergence L 1 soit
suspectée mais difficile à obtenir via le théorème précédent (c’est le cas pour les
martingales liées aux processus de branchement et aux arbres binaires de recherche
par exemple). Une convergence L p pour p ∈]1, 2[ pourra alors être utile (outre son
intérêt propre).
Corollaire C.28 (Convergence L p , p > 1 des martingales)
Toute martingale (X n ) bornée dans L p pour p > 1 converge dans L p (et aussi
en probabilité et p.s. par le théorème de Doob).
C.9 L’urne de Pólya originelle
Nous reprenons dans cette section des résultats qui appartiennent au « folklore ».
La proposition C.30 se trouve dans l’article d’Athreya [11] de 1969 avec des
appellations différentes et une preuve différente. Elle est aussi faite partiellement
dans Blackwell et Kendall [29] pour une balance S = 1 et en partant d’une boule de
chaque couleur. La méthode des moments pour une urne de Pólya est évoquée dans
le livre de Johnson et Kotz [151].