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C Rappels mathématiques : probabilités
où A n−1 est F n−1 -mesurable et différent de 0 presque sûrement. Il suffit alors de
renormaliser la suite (X n ) pour obtenir une martingale :
Y n :=
X n
n−1
k=0 A k
est une F n -martingale.
– (dérivée) En étendant la notion de martingale aux variables aléatoires à valeurs
dans C, supposons que (M n (z)) soit une martingale paramétrée par z ∈ C. Alors,
sur le domaine de C où M n est dérivable, (M
n (z)) est encore une martingale.
C.8.2 Convergences des martingales
Définition C.23 On dit qu’une suite de variables aléatoires (X n ) est intégrable
(respectivement de carré intégrable) si et seulement si pour tout n,
E (|X n |) < ∞ ( respectivement, E(X
2
n ) < ∞).
On dit qu’une suite de variables aléatoires (X n ) est bornée dans L p (p > 0), si et
seulement si
sup
n
E
|X n |
p
< ∞.
On dit qu’une suite de variables aléatoires (X n ) est équi-intégrable ou uniformément
intégrable si et seulement si, quand a → +∞,
sup
n
E
|X n |1 {|X n |>a}
−→ 0.
Théorème C.24 (Convergence L 2 des martingales)
Toute martingale (X n ) bornée dans L 2 converge dans L 2 .
Toute sous-martingale positive (X n ) bornée dans L 2 converge dans L 2 .
Théorème C.25 (Convergence presque sûre des martingales. Théorème de
Doob)
Toute sous-martingale (X n ) vérifiant 1 sup n E(X +
n ) < ∞ converge p.s. vers une
variable aléatoire X ∞ et X ∞ ∈ L 1 .
1 La notation X + désigne la partie positive de la variable aléatoire X, autrement dit : X + =
max(0, X).