C Rappels mathématiques : probabilités
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C.8 Martingales discrètes
Des références complètes sont par exemple les livres de Neveu [193], Grimmett et
Stirzaker [125], Williams [251], Petrov [206].
C.8.1 Définitions
Soit ((, A, P) un espace probabilisé. Une filtration est une famille croissante de
sous-tribus de A.
Définition C.21 Soit (F n ) une filtration. Une suite de variables aléatoires réelles
(X n ) est une F n -martingale si pour tout n :
(i) X n est F n -mesurable (on dit que la suite (X n ) est adaptée) ;
(ii) X n est intégrable : E (|X n |) < ∞ ;
(iii) E(X n+1 | F n ) = X n , p.s..
Le mot « martingale » vient du cas, au siècle de Pascal, où X n représente la fortune
d’un joueur après la n-ième partie et F n représente son information à propos du jeu
à ce moment-là. L’égalité (iii) dit que sa fortune espérée après la prochaine partie
est la même que sa fortune actuelle. Une martingale est en ce sens un jeu équitable.
Définition C.22 Si (iii) est remplacé par E(X n+1 | F n ) ≤ X n , p.s. , on obtient une
surmartingale, le jeu est défavorable pour le joueur.
Si (iii) est remplacé par E(X n+1 | F n ) ≥ X n , p.s. , on obtient une sousmartingale, le jeu est favorable pour le joueur.
Remarquons que si l’on n’a pas de filtration sous la main, il est toujours possible de
prendre F n = σ (X 1 , X 2 , . . . , X n ), la tribu engendrée par X 1 , X 2 , . . . , X n .
Quelques propriétés immédiates
– Pour une martingale (X n ), la suite des espérances (EX n ) est constante, pour une
surmartingale, (EX n ) est décroissante et pour une sous-martingale, (EX n ) est
croissante.
– Pour tout entier k ≥ 1, pour une martingale : E(X n+k | F n ) = X n , p.s.
– (convexité) Si (M n ) est une martingale, et si ϕ est une fonction convexe de R
dans R, alors ϕ(M n ) est une sous-martingale. Par exemple, dès que (M n ) est une
martingale, (M 2
n ) est une sous-martingale.
– (renormalisation) Supposons que la suite de variables aléatoires (X n ) adaptées
vérifie
E(X n | F n−1 ) = A n−1 X n−1 ,
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C.8 Martingales discrètes
Des références complètes sont par exemple les livres de Neveu [193], Grimmett et
Stirzaker [125], Williams [251], Petrov [206].
C.8.1 Définitions
Soit ((, A, P) un espace probabilisé. Une filtration est une famille croissante de
sous-tribus de A.
Définition C.21 Soit (F n ) une filtration. Une suite de variables aléatoires réelles
(X n ) est une F n -martingale si pour tout n :
(i) X n est F n -mesurable (on dit que la suite (X n ) est adaptée) ;
(ii) X n est intégrable : E (|X n |) < ∞ ;
(iii) E(X n+1 | F n ) = X n , p.s..
Le mot « martingale » vient du cas, au siècle de Pascal, où X n représente la fortune
d’un joueur après la n-ième partie et F n représente son information à propos du jeu
à ce moment-là. L’égalité (iii) dit que sa fortune espérée après la prochaine partie
est la même que sa fortune actuelle. Une martingale est en ce sens un jeu équitable.
Définition C.22 Si (iii) est remplacé par E(X n+1 | F n ) ≤ X n , p.s. , on obtient une
surmartingale, le jeu est défavorable pour le joueur.
Si (iii) est remplacé par E(X n+1 | F n ) ≥ X n , p.s. , on obtient une sousmartingale, le jeu est favorable pour le joueur.
Remarquons que si l’on n’a pas de filtration sous la main, il est toujours possible de
prendre F n = σ (X 1 , X 2 , . . . , X n ), la tribu engendrée par X 1 , X 2 , . . . , X n .
Quelques propriétés immédiates
– Pour une martingale (X n ), la suite des espérances (EX n ) est constante, pour une
surmartingale, (EX n ) est décroissante et pour une sous-martingale, (EX n ) est
croissante.
– Pour tout entier k ≥ 1, pour une martingale : E(X n+k | F n ) = X n , p.s.
– (convexité) Si (M n ) est une martingale, et si ϕ est une fonction convexe de R
dans R, alors ϕ(M n ) est une sous-martingale. Par exemple, dès que (M n ) est une
martingale, (M 2
n ) est une sous-martingale.
– (renormalisation) Supposons que la suite de variables aléatoires (X n ) adaptées
vérifie
E(X n | F n−1 ) = A n−1 X n−1 ,