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C Rappels mathématiques : probabilités
produit lorsque l’on considère un processus à temps discret (X n ) n≥0 , et F n est la
tribu, dite tribu du passé avant n, engendrée par les X p pour p ≤ n.
Comme L 2 est dense dans L 1 , la notion s’étend aux fonctions intégrables. Et la
caractérisation suivante est plus utile en pratique que la définition.
Proposition C.19 (Caractérisation de l’espérance conditionnelle)
Soit X ∈ L 1 ((, A, P) et soit B une sous-tribu de A. Alors E(X|B) est l’unique
variable aléatoire telle que
(i) E(X|B) est B-mesurable ;
(ii) pour toute v.a. B-mesurable bornée Y , E(Y X) = E (Y E(X|B)).
Remarquons qu’à part les cas particuliers suivants :
– l’espérance conditionnelle de X est prise par rapport à la tribu triviale réduite à
{∅, ,} et vaut alors E(X) ;
– si X est indépendante de B, alors E(X|B) = E(X),
en général E(X|B) n’est pas une constante, mais une variable aléatoire Bmesurable.
Proposition C.20 (Propriétés de l’espérance conditionnelle)
(i) Linéarité : ∀a, b ∈ R, E(aX + bY |B) = aE(X|B) + bE(Y |B).
(ii) |E(X|B)| ≤ E(|X| |B).
(iii) Si C est une tribu et si C ⊂ B, alors E(E(X|B)|C) = E(X|C).
En particulier, E(E(X|B)) = E(X).
(iv) Si X est intégrable et Z est dans L 1 (B), alors E(XZ|B) = ZE(X|B). En
particulier quand Z est dans L 1 (B), alors E(Z|B) = Z.
Lien avec les probabilités conditionnelles
Soit A et B deux événements, avec P(B) = 0. Prenons pour B la tribu B =
{∅, B, B c , ,}. On vérifie avec la caractérisation précédente que
E(1 A |B) =
P(A ∩ B)
P(B)
1 B +
P(A ∩ B c )
P(B c )
1 B c ,
soit encore
E(1 A |B) = P(A|B)1 B + P(A|B
c )1 B c ,
et
E(1 A∩B |B) = P(A|B)1 B .