C Rappels mathématiques : probabilités
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Une description alternative d’une loi de Dirichlet peut être faite à partir de lois
Gamma :
Proposition C.29 (cf. Bertoin [22, page 63]) Si ξ 1 , . . . , ξ d sont d variables aléatoires indépendantes de loi Gamma de paramètres respectifs (ν 1 , ν), . . . , (ν d , ν), si
ξ =
d
i=1 ξ i , alors ξ est de loi Gamma de paramètre (ν 1 + . . . + ν d , ν) et le vecteur
aléatoire
ξ 1
ξ , . . . ,
ξ d
ξ
est de loi Dirichlet(ν 1 , . . . , ν d ) et indépendant de ξ .
C.9.2 Urne de Pólya originelle : comportement asymptotique
Comme les premières urnes étudiées par Pólya [210] correspondent à une matrice
de remplacement R =
1 0
0 1
, nous appelons urne de Pólya originelle une urne
à d couleurs de matrice de remplacement SI d où I d est la matrice identité en
dimension d. Le comportement asymptotique du vecteur composition d’une telle
urne est résumé dans la proposition suivante. La preuve de [42] est faite par un
argument de martingale et la méthode des moments.
Proposition C.30 Soit d ≥ 2 et S ≥ 1 des entiers. Soit aussi (α 1 , . . . , α d ) ∈
N d \ {0}. Soit (P n ) n≥0 l’urne de Pólya à d couleurs de matrice de remplacement
SI d et de composition initiale (α 1 , . . . , α d ). Alors, presque sûrement et dans tous
les L p , p ≥ 1,
P n
nS
−→
n→∞
V
où V est un vecteur aléatoire de loi de Dirichlet de paramètres (
α 1
S , . . . ,
α d
S ).
Par conséquent, pour chaque k ∈ {1, . . . , d}, la k-ième coordonnée de V est de loi
Beta
⎛
⎝ α k
S
,
j =k
α j
S
⎞
⎠ .