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C Rappels mathématiques : probabilités
C.6.4 Convergence en loi
Définition C.12 Soient X, X 1 , . . . , X n , . . . des variables aléatoires à valeurs dans
R ou C, non nécessairement définies sur le même espace de probabilité. On dit que
la suite (X n ) converge en loi vers X lorsque pour tout borélien A de R ou C,
P(X n ∈ A) −→
n→∞
P(X ∈ A).
On parle de manière équivalente de convergence en loi ou convergence en distribution et l’on note indifféremment X n
D
−→
n→∞
X ou X n
loi
−→
n→∞
X.
La convergence en loi peut aussi s’exprimer comme convergence faible des lois de
probabilité de X n , à l’aide de fonctions.
Proposition C.13 Une suite (X n ) de variables aléatoires à valeurs dans R ou C
converge en loi vers X si et seulement si pour toute fonction f continue bornée sur
R ou C,
E (f (X n )) −→
n→∞
E (f (X)) .
Remarquons que la convergence en loi n’entraîne pas la convergence de E(X n )
(car la fonction identité n’est pas bornée), ni la convergence des moments de X n .
La proposition suivante est souvent implicitement utilisée.
Proposition C.14 Si X n
loi
−→
n→∞
X, alors pour toute fonction f continue sur R ou
C, on a
f (X n )
loi
−→
n→∞
f (X).
Le critère suivant de convergence en loi peut être utile pour des variables aléatoires
à valeurs réelles.
Proposition C.15 Soient X et (X n ) des variables aléatoires à valeurs réelles, de
fonction de répartition F X et F X n respectivement. Les deux assertions suivantes
sont équivalentes.
(i) X n
loi
−→
n→∞
X ;
(ii) F X n (x) −→
n→∞
F X (x) pour tout x point de continuité de F .
Lorsque les variables aléatoires sont discrètes, la convergence en loi devient :
Proposition C.16 Soient X, X 1 , . . . , X n , . . . des variables aléatoires à valeurs
dans N. Pour que X n
loi
−→
n→∞
X, il faut et il suffit que pour tout entier k,
P(X n = k) −→
n→∞
P(X = k).