C Rappels mathématiques : probabilités
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C.6.1 Convergence en probabilité
Définition C.8 Soient X, X 1 , . . . , X n , . . . des variables aléatoires à valeurs dans R
ou C, définies sur le même espace de probabilité ((, A, P). On dit que la suite (X n )
converge en probabilité vers X si pour tout ε > 0,
P(|X n − X| > ε) −→ 0 lorsque n → +∞.
On note X n
proba
−→
n→∞
X ou X n
P
−→
n→∞
X.
Le théorème suivant fournit un cas particulier de convergence en probabilité.
Théorème C.9 Soit une suite (X n ) de variables aléatoires de moyennes et variances μ n et σ 2
n ; si ces quantités tendent vers l’infini de telle sorte que σ n = o(μ n ),
alors la suite
X n
μ n
tend vers 1 en probabilité.
C.6.2 Convergence presque sûre
Définition C.10 Soit (X n ) une suite de v.a. définies sur le même espace de
probabilité ((, A, P). On dit que la suite (X n ) converge presque sûrement (p.s.)
si
P
lim
n
X n existe
= P
ω, lim
n
X n (ω) existe
= 1.
On note X(ω) la limite de X n (ω) là où elle existe (partout sauf sur un ensemble
négligeable).
On écrit X n
p.s.
−→
n→∞
X.
Cette convergence est parfois dite « forte », ce qui est justifié par la hiérarchie des
convergences.
C.6.3 Convergence dans L p
Définition C.11 Soient X, X 1 , . . . , X n , . . . des variables aléatoires définies sur le
même espace de probabilité ((, A, P). Soit p ≥ 1. On dit que la suite (X n )
converge vers X dans L p lorsque
E
|X n − X|
p
=
|X n (ω) − X(ω)|
p dP(ω) −→
n→∞
0,
et l’on note X n
L p
−→
n→∞
X.