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C Rappels mathématiques : probabilités
Notons que pour une chaîne de Markov homogène, pour tout n ≥ 0, pour tous
x 0 , . . . , x n ∈ E,
P (X n = x n , X n−1 = x n−1 , . . . , X 0 = x 0 ) = μ 0 (x 0 )p x 0 ,x 1 . . . p x n−1 ,x n .
Plus généralement, pour tout entier k ≥ 1, on dira qu’une suite de variables
aléatoires est une chaîne de Markov d’ordre k lorsque la transition vers un nouvel
état dépend seulement des k derniers états, autrement dit
P (X n+1 = j | X n = x n , . . . , X 0 = x 0 ) = P (X n+1 = j | X n = x n , . . . , X n−k+1 = x n−k+1 ) .
Lorsque rien n’est précisé, il s’agit d’une chaîne de Markov d’ordre 1.
La propriété de Markov s’exprime de la façon suivante : pour une chaîne de
Markov d’ordre 1, l’avenir ne dépend du passé que par le présent. Autrement dit,
pour une chaîne de Markov de loi initiale μ 0 et de matrice de transition P , la loi de
X m+n sachant X 0 , X 1 , . . . , X m est celle d’une chaîne de Markov de loi initiale la
loi de X m et de matrice de transition P .
C.6 Différents types de convergence
Pour une introduction et un approfondissement de ce sujet, l’on pourra se référer
par exemple aux livres de Grimmett and Stirzaker [125], Williams [251] ou
Petrov [206]. Dans ce qui suit, P est une probabilité sur A, tribu sur un ensemble
et X, X 1 , . . . , X n , . . . sont des variables aléatoires à valeurs dans R ou C. Nous
citons ici quatre types de convergence : en probabilité, presque sûre, dans L p et en
loi. Puis nous établirons leur hiérarchie.
Notons d’abord qu’il y a deux grandes manières de converger pour une suite de
variables aléatoires (X n ) n :
– La première manière de converger concerne les convergences presque sûre, en
probabilité et dans L p ; elles sont envisagées lorsque les variables X n sont
définies sur le même espace ((, A, P). Pour la convergence presque sûre, il
s’agit de voir si pour chaque ω la limite de X n (ω) existe lorsque n → +∞.
Il y aura convergence presque sûre quand la convergence a lieu sur une partie
de de mesure 1. Il y aura convergence en probabilité lorsque X n se rapproche
d’une variable aléatoire X avec une probabilité tendant vers 1.
– La seconde manière de converger est plus faible ; les variables ne sont même plus
supposées être définies sur le même espace, on ne s’intéresse qu’à leur loi et il
s’agit de voir si la loi de X n a une limite. C’est la convergence en loi.
C Rappels mathématiques : probabilités
Notons que pour une chaîne de Markov homogène, pour tout n ≥ 0, pour tous
x 0 , . . . , x n ∈ E,
P (X n = x n , X n−1 = x n−1 , . . . , X 0 = x 0 ) = μ 0 (x 0 )p x 0 ,x 1 . . . p x n−1 ,x n .
Plus généralement, pour tout entier k ≥ 1, on dira qu’une suite de variables
aléatoires est une chaîne de Markov d’ordre k lorsque la transition vers un nouvel
état dépend seulement des k derniers états, autrement dit
P (X n+1 = j | X n = x n , . . . , X 0 = x 0 ) = P (X n+1 = j | X n = x n , . . . , X n−k+1 = x n−k+1 ) .
Lorsque rien n’est précisé, il s’agit d’une chaîne de Markov d’ordre 1.
La propriété de Markov s’exprime de la façon suivante : pour une chaîne de
Markov d’ordre 1, l’avenir ne dépend du passé que par le présent. Autrement dit,
pour une chaîne de Markov de loi initiale μ 0 et de matrice de transition P , la loi de
X m+n sachant X 0 , X 1 , . . . , X m est celle d’une chaîne de Markov de loi initiale la
loi de X m et de matrice de transition P .
C.6 Différents types de convergence
Pour une introduction et un approfondissement de ce sujet, l’on pourra se référer
par exemple aux livres de Grimmett and Stirzaker [125], Williams [251] ou
Petrov [206]. Dans ce qui suit, P est une probabilité sur A, tribu sur un ensemble
et X, X 1 , . . . , X n , . . . sont des variables aléatoires à valeurs dans R ou C. Nous
citons ici quatre types de convergence : en probabilité, presque sûre, dans L p et en
loi. Puis nous établirons leur hiérarchie.
Notons d’abord qu’il y a deux grandes manières de converger pour une suite de
variables aléatoires (X n ) n :
– La première manière de converger concerne les convergences presque sûre, en
probabilité et dans L p ; elles sont envisagées lorsque les variables X n sont
définies sur le même espace ((, A, P). Pour la convergence presque sûre, il
s’agit de voir si pour chaque ω la limite de X n (ω) existe lorsque n → +∞.
Il y aura convergence presque sûre quand la convergence a lieu sur une partie
de de mesure 1. Il y aura convergence en probabilité lorsque X n se rapproche
d’une variable aléatoire X avec une probabilité tendant vers 1.
– La seconde manière de converger est plus faible ; les variables ne sont même plus
supposées être définies sur le même espace, on ne s’intéresse qu’à leur loi et il
s’agit de voir si la loi de X n a une limite. C’est la convergence en loi.