C Rappels mathématiques : probabilités
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C.3.4 Loi Theta
La loi de probabilité Theta, ainsi nommée dans le livre de Flajolet et Sedgewick [94],
est étudiée dans ses liens avec la fonction Zeta de Riemann et le mouvement
brownien dans Biane et al. [23].
La fonction theta de Jacobi est définie pour x > 0 par
θ(x) :=
+∞
n=−∞
e
−πn 2 x
La formule sommatoire de Poisson montre que θ vérifie l’équation fonctionnelle
√
x θ(x) = θ
1
x
(x > 0).
On montre alors que la fonction H définie sur R par
H (y) =
d
dy
y
2 d
dy
θ(y
2 )
= 2y
2
n≥1
2π
2 n
4 y
2
− 3πn
2
e
−πn 2 y 2
est positive et vérifie
+∞
0
H (y)dy = 1 et yH (y) = H
1
y
(y > 0).
On dit alors qu’une variable aléatoire Y suit une distribution Theta lorsqu’elle admet
pour densité la fonction
1
y H (y)1 ]0,+∞[ (y). Sa fonction de répartition est
P(Y ≤ y) =
+∞
n=−∞
1 − 2πn
2 y
2
e
−πn 2 y 2 = 4πy
−3
n≥1
n
2 e
−πn 2 /y 2
,
la seconde égalité provenant de l’équation fonctionnelle vérifiée par H . La loi Theta
a pour propriété que si g est n’importe quelle fonction mesurable définie sur R + ,
E (g(1/Y )) = E (Yg(Y )) .
Enfin, E(Y ) = 1, E(Y 2 ) = π/6, E(Y 3 ) =
3ζ(3)
2π et pour tout entier naturel p ≥ 2, le
p-ième moment de Y est
E
Y
p
=
+∞
0
y
p−1 H (y)dy =
p(p − 1)
2
+∞
0
x
p
2 −1
θ(x) − 1
dx =
p(p − 1)
2π p/2
p
2
ζ(p).