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C Rappels mathématiques : probabilités
C.3.5 Lois Gamma : Lois Beta
Soient a et λ des réels strictement positifs. On dit qu’une variable aléatoire X suit
une loi Gamma de paramètres a et λ, notée Gamma(a, λ) lorsque X est à valeurs
dans [0, +∞[ et a pour densité
f (x) =
1
λ
a x
a−1 e
−λx 1 ]0,+∞[ (x),
où est la fonction Gamma d’Euler définie sur ]0, +∞[ par
=
+∞
0
x
a−1 e
−x dx.
Pour λ = 1, la loi Gamma(a, 1) est parfois appelée loi Gamma de paramètre a
et est notée Gamma(a). Pour X de loi Gamma de paramètres a et λ, espérance,
variance et transformée de Laplace sont données par
E(X) =
a
λ
; Var(X) =
a
λ 2 ; E
e
−tX
=
λ
λ + t
a
.
Soient a et b deux réels strictement positifs. On dit qu’une variable aléatoire X
suit une loi Beta de paramètres a et b, notée Beta(a, b), lorsque X est à valeurs
dans l’intervalle [0, 1] et a pour densité
f (x) =
1
B(a, b)
x
a−1 (1 − x)
b−1 1 [0,1] (x)
où B(a, b) désigne la fonction Beta d’Euler :
B(a, b) :=
(a))(b)
(a + b)
.
Pour X de loi Beta de paramètres a et b, espérance et variance sont données par
E(X) =
a
a + b
; Var(X) =
ab
(a + b) 2 (a + b + 1)
.
C.4 Inégalité de Jensen
Théorème C.6 Soit ((, A, P) un espace probabilisé. Soit X une variable aléatoire
intégrable, à valeurs dans un intervalle I de R. Soit ϕ une fonction convexe de I