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C Rappels mathématiques : probabilités
densité f (x) = λe −λx 1 [0,+∞[ (x). Autrement dit, la loi de X est caractérisée par
∀x ∈ [0, +∞[,
P(X > x) = e
−λx .
Nous noterons X
L
= Exp(λ). Pour une variable aléatoire X de loi exponentielle de
paramètre λ, moyenne, variance et transformée de Laplace sont données par
E(X) =
1
λ
; Var(X) =
1
λ 2 ; E
e
−tX
=
λ
λ + t
.
La loi exponentielle modélise fréquemment des temps d’attente. C’est pourquoi
au lieu de parler d’une variable aléatoire de loi exponentielle, on parle parfois
d’horloge exponentielle.
La loi exponentielle possède quelques propriétés remarquables.
– L’absence de mémoire : pour tous réels positifs s et t,
P(X > t + s | X > t) = P(X > s).
– Lorsque X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes, de loi exponentielle
de paramètre λ et μ respectivement, alors X ∧ Y , le minimum de X et Y , suit une
loi exponentielle de paramètre λ + μ. De plus,
P(X ∧ Y = X) =
λ
λ + μ
et
P(X ∧ Y = Y ) =
μ
λ + μ
.
En particulier, pour n horloges exponentielles indépendantes chacune de
paramètre 1, le premier instant de sonnerie est de loi Exp(n) et l’horloge qui
sonne est uniforme parmi les n horloges.
C.3.3 Loi normale
Soit m un réel et soit σ 2 un réel positif ou nul. On dit qu’une variable aléatoire X suit
une loi normale (ou Gaussienne) de paramètres m et σ 2 , et on note X
L
= N(m, σ 2 ),
lorsque X admet comme densité sur R
f (x) =
1
√
2πσ 2
e
−
1
2 (
x−m
σ )
2
.
Lorsque X est de loi N(m, σ 2 ), alors
X − m
σ
est de loi N(0, 1), dite loi normale
centrée réduite.